Uma espira retangular, de comprimento a , largura b e resistência R , é colocada na vizinhança de um fio infinitamente longo que transporta uma corrente i .

Suponha que a espira está se afastando do fio com uma velocidade constante v . Considere que a distância inicial entre a espira e o fio vale y t = 0 = c .

a Calcule o fluxo do campo magnético produzido pelo fio longo na espira em função da posição lateral y t .

b Calcule a f e m induzida e a corrente induzida na espira.

c Considere agora o caso em que a corrente no fio infinito pode variar com o tempo. Para que a f e m induzida na espira seja nula, essa corrente deve aumentar, diminuir ou se manter constante? Justifique.

Passo 1

a Calcule o fluxo do campo magnético produzido pelo fio longo na espira em função da posição lateral y t .

O fluxo magnético, por definição, é dado por:

ϕ B = ∬ B → ∙ d A →

O campo magnético aqui é o gerado pelo fio que transporta a corrente e é dado por:

B = μ 0 I 2 π y '

Onde y ' é a distância entre o fio e o ponto onde estamos calculando o campo magnético.

Utilizando a regra da mão direita, onde o polegar representa a corrente elétrica, vemos que, na região da espira o campo magnético aponta para o dentro do plano da página, perpendicular ao mesmo.

Além disso, como o campo magnético varia com y ' , podemos escrever a porção infinitesimal da área como:

d A = b   d y '

y t ≤ y ' ≤ y t + a

Como mostra a figura abaixo:

Legal! Agora vamos calcular o fluxo magnético:

ϕ B = ∫ y t y t + a μ 0 I 2 π y ' b   d y '

ϕ B = μ 0 I b 2 π ∫ y t y t + a d y ' y '

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ y ' y t y t + a

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ y t + a - ln ⁡ y t

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ y t + a y t

Passo 2

b Calcule a f e m induzida e a corrente induzida na espira.

A f e m induzida é obtida através da Lei de Faraday, dada por:

E i n d = - ∂ ϕ B ∂ t

Para calcular a derivada, vamos usar a seguinte expressão do fluxo magnético:

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ y t + a y t

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ y t + a - ln ⁡ y t

Assim, teremos:

E i n d = - ∂ ∂ t μ 0 I b 2 π ln ⁡ y t + a - ln ⁡ y t

Da expressão do fluxo magnético somente y t varia com o tempo, então podemos tirar o resto da derivada, beleza?

E i n d = - μ 0 I b 2 π ∂ ∂ t ln ⁡ y t + a - ln ⁡ y t

Dessa forma, teremos:

E i n d = - μ 0 I b 2 π 1 y t + a - 1 y t d y t d t

Onde d y t / d t = v .

E i n d = - μ 0 I b v 2 π 1 y t + a - 1 y t

Só pra deixar mais arrumadinho:

E i n d = μ 0 I b v 2 π 1 y t - 1 y t + a

Passo 3

Beleza, agora falta calcular a corrente induzida.

Uma vez que já calculamos a f e m induzida, a corrente no circuito vai ser dada por:

I i n d = E i n d R

Logo:

I i n d = μ 0 I b v 2 π R 1 y t - 1 y t + a

Passo 4

c Considere agora o caso em que a corrente no fio infinito pode variar com o tempo. Para que a f e m induzida na espira seja nula, essa corrente deve aumentar, diminuir ou se manter constante? Justifique.

Vamos voltar para a expressão da Lei de Faraday, beleza?

E i n d = - ∂ ϕ B ∂ t

ϕ B = μ 0 I t b 2 π ln ⁡ y t + a y t

Para que a f e m induzida seja nula, é necessário que o fluxo magnético seja constante através da espira.

Conforme o valor de y t aumenta, o logaritmo diminui. Dessa forma, para que o fluxo permaneça constante, a corrente deve aumentar com o tempo.

Resposta

a

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ y t + a y t

b

E i n d = μ 0 I b v 2 π 1 y t - 1 y t + a

I i n d = μ 0 I b v 2 π R 1 y t - 1 y t + a

c

A corrente deve aumentar com o tempo.

Exercícios de Livros Relacionados

Quando a corrente em uma bobina de 8 H é igual a 3 A e aumenta para 200 A / s , determine a O fluxo magnético através da bobina e ( b ) a força eletromotriz induzida na bobina.
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 400 voltas que tem comprimento igual a 25,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 3,00 A .
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 800 voltas que tem comprimento igual a 30,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 2,00 A .
Um condutor cilíndrico longo com raio R e comprimento L conduz uma corrente I . Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento através da área indicada na Figura 28-44.
44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v