Um solenoide com comprimento muito maior do que o seu raio (solenoide ideal) tem o eixo de simetria coincidente com o eixo y , e é atravessado por uma corrente I S (conhecida) em direção anti-horária (veja a figura).

A densidade linear de voltas do solenoide varia com a coordenada y e é dada pela equação n S y = n 0 + A y 2 . Uma espira condutora circular de resistência elétrica R e raio r E (conhecidos) é introduzida no solenoide e é colocada no instante de tempo t = 0 no início do solenoide y = 0 , para depois ser movida por um sistema não mostrado com velocidade constante v E → positiva ao longo do eixo y . A espira é completamente contida no solenoide (como mostrado na figura).

Nestas condições:

(a) Calcule em função do tempo o campo magnético B S → (módulo, direção e sentido) gerado pelo solenoide no centro da espira.

(b) Calcule a corrente induzida na espira.

(c) Calcule o campo magnético B E → (módulo, direção e sentido) gerado somente pela corrente induzida no centro da espira (Sugestão: utilize Biot e Savart). Qual será o campo magnético total no centro da espira?

Passo 1

Vamos utilizar a Lei de Ampère para determinar o campo magnético B S → no interior do solenoide. Temos que:

∮ B S → ⋅ d l → = μ 0 I i n t .

Vamos escolher um retângulo a b c d como percurso fechado, com lado a b coincidente com o eixo do solenoide iniciando na origem até um comprimento y ^ e o lado c d paralelo ao eixo, mas do lado de fora do solenoide. Assim sendo, temos:

  1. Ao longo dos lados b c e d a , B → S é perpendicular à d l → ;
  2. Ao longo do lado c d , B S → = 0 → ; e
  3. Ao longo do lado a b , temos:

∫ a b B S → ⋅ d l → = B S y ^ .

Passo 2

Vamos analisar agora o lado direito da equação da Lei de Ampère. Precisamos calcular o número de espiras contidas no comprimento y ^ para determinar a corrente interna I i n t .

A partir da densidade linear de voltas, temos que:

N v o l t a s = ∫ 0 y ^ n 0 + A y 2 d y ,

N v o l t a s = n 0 y + A y 3 3 0 y ^ = n 0 y ^ + A y ^ 3 3 .

Portanto, a corrente total no interior do retângulo é dada por: I i n t = N v o l t a s I S . Assim sendo,

B S y ^ = μ 0 I S n 0 y ^ + A y ^ 3 3 ,

B S ( y ^ ) = μ 0 I S n 0 + A y ^ 2 3 .

Passo 3

Temos o campo magnético em função de y , agora precisamos descobrir o campo dentro da espira em função do tempo t . Bem, sabemos que a espira está se movimentando com uma velocidade v E = y / t . Logo,

B S t = μ 0 I S n 0 + A v E 2 3 t 2 .

Ah, não podemos nos esquecer de determinar a direção e o sentido de B S → . Pela regra da mão direita, B S → aponta para cima, direção do eixo y , sentido positivo.

Passo 4

Para calcular a corrente induzida na espira, calculamos inicialmente a fem induzida. Temos:

ε = - d Φ B d t = - A E d B S t d t ,  

ε = - π r E 2 μ 0 I s 2 A v E 2 3 t .

A corrente induzida, em módulo, é dada por:

i E = ε R = π r E 2 A v E 2 t μ 0 I s 2 3 R .

De acordo com a Lei de Lenz, como o fluxo (para cima) está aumentando, a corrente induzida deve se opor a este aumento e, portanto, tem sentido horário.

Passo 5

Agora, vamos utilizar Biot-Savart para determinar o campo B E → no centro da espira. Temos:

d B E → = μ 0 4 π i E d l → × r ^ r E 2 ,

d B E → = μ 0 4 π i E d l - j ^ r E 2 ,

B E → = - μ 0 i E 4 π r E 2 j ^ ∫ d l ,

B E → = - μ 0 i E 4 π r E 2 2 π r E j ^ = - μ 0 i E 2 r E j ^ .

Substituindo o valor de i E , chegamos em:

B E → = - μ 0 2 r E π r E 2 A v E 2 t μ 0 I s 2 3 R j ^ ,

B E → = - μ 0 2 π r E A v E 2 t I s 3 R j ^ .

Passo 6

Para terminar a questão, calculamos o campo magnético resultante B → no centro da espira:

B → = B S → + B E → ,

B → = μ 0 I S n 0 + A v E 2 3 t 2 - μ 0 2 π r E A v E 2 t I s 3 R j ^ ,

Resposta

(a) B S → = μ 0 I S n 0 + A v E 2 3 t 2 j ^ .

(b) i E = π r E 2 A v E 2 t μ 0 I s 2 3 R . , sentido horário.

(c) B E → = - μ 0 2 π r E A v E 2 t I s 3 R j ^ . e B → = μ 0 I S n 0 + A v E 2 3 t 2 - μ 0 2 π r E A v E 2 t I s 3 R j ^

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