Uma espira condutora quadrada de lado a e resistência elétrica R desloca-se em movimento retilíneo uniforme com velocidade v → = v   x ^ ( v > 0 ), de forma que dois de seus lados permanecem paralelos ao eixo X , como mostrado na figura abaixo. Ela atravessa uma região de campo magnético uniforme e estacionário   B → = - B   z ^   ( B > 0 ) , que se estende ao longo de uma região de comprimento l   ( l > a ) ao longo do eixo X e por todo o eixo Y . Para os cálculos abaixo, escolha o vetor unitário (ou versor) normal à área definida pela espira como   n ^ = - z ^ , ou seja, entrando no plano da folha.

  1. Determine a intensidade e o sentido da corrente induzida na espira em três situações: i quando ela está entrando na região do campo, ( i i ) quando está totalmente imersa nessa região e ( i i i ) quando está saindo dessa região.
  2. Determine a força magnética sobre a espira (módulo, direção e sentido) nas mesmas três situações do item anterior.
  3. Faça gráficos separados da intensidade do fluxo de campo magnético sobre a espira e da corrente na espira como função do tempo t . Considere t = 0 o instante em que a espira começa a entrar na região do campo e destaque os intervalos de tempo correspondentes às três situações acima. Atribua sinais positivo e negativo para o sentido corrente de acordo com a orientação do vetor normal mencionado acima.

Passo 1

Na figura abaixo são representadas cada uma das situações mencionados no enunciado. A área, como pedido na questão, é orientada paralelamente ao vetor   B → e, portanto, assim como este, também está entrando no plano da página. Por isso, o sentido positivo para a fem e a corrente induzidas é horário, como indicado pelo sinal + na figura abaixo.

Antes de começar a analisar cada situação separadamente, note que o fluxo de campo magnético é sempre positivo, pois   B → é sempre paralelo à área atravessada pelas linhas de campo em cada um dos instantes de seu movimento.

Na situação ( i ) , a espira quadrada está entrando na região onde há campo. Então, à medida que ela entra nessa região, mais linhas de campo atravessam sua área, correto?

Aqui começo te perguntando: se o campo   B → é uniforme (o mesmo em todos os pontos da região!) e estacionário (não varia com o tempo!) e a área da espira também não muda, o que poderia variar nesse caso?

Bom, a área da espira por onde as linhas de campo passam aumenta à medida que a espira com velocidade constante v → entra na região e essa é a razão pela qual esperamos encontrar em ( i ) uma corrente induzida! Agora, qual o sentido dela?

Ao se deslocar para dentro do campo, o fluxo magnético, que é sempre positivo, Φ B > 0 (pois   B → é sempre paralelo à área da espira!), aumenta, pois mais linhas de campo atravessam sua área. Isso significa que a taxa de variação do fluxo é positiva:

d Φ B d t > 0 ⇒ ε = - d Φ B d t < 0

isto é, o fluxo está aumentando com o tempo e aparecem uma fem e uma corrente induzidas, ambas negativas, na espira no sentido anti-horário.

Agora para um pouco, respira e verifica se essa discussão ficou clara para vocês....Tenta acompanhar a solução sempre olhando para a parte da figura correspondente.

Respirou? Conferiu se a ideia da situação ( i ) ficou clara? Se sim, pode seguir agora...

Na situação ( i i ) , como o campo é uniforme e estacionário e a quantidade de linhas de campo que atravessam a área da espira é sempre a mesma, o fluxo magnético nesse caso é constante: Φ B = c o n s t a n t e . Por isso, temos o seguinte

d Φ B d t = 0 ⇒ ε = 0

e, como não fem induzida, também não há corrente induzida neste caso.

Na situação i i i , ocorre exatamente o oposto da situação ( i i ) , pois, agora, a área que é atravessada pelas linhas de campo está diminuindo com o tempo. Por isso, o fluxo magnético, apesar de positivo, Φ B > 0 , tem sua taxa diminuindo com o tempo, ou seja,

d Φ B d t < 0 ⇒ ε = - d Φ B d t > 0

Assim, como a fem induzida é positiva, a corrente induzida também tem sentido positivo, o que significa que está circulando no sentido horário.

Passo 2

Agora que já sabemos quais os sentidos das correntes induzidas em cada uma das situações, vamos encontrar a intensidade de cada uma delas. Para isso, precisamos calcular a fem induzida ε para cada caso.

Como campo magnético é uniforme (o mesmo em todos os pontos!) e estacionário (não varia com o tempo!), em toda a superfície da espira condutora ele tem o mesmo valor. Por isso, o campo   B → pode sair da integral do fluxo magnético e obtemos o seguinte

Φ B = ∫ S B → .   d S → = B → . S   n ^ = B S

onde   S → = S n ^ , sempre paralela a B → , é a área atravessada pelas linhas de campo.

Essa expressão para Φ B vale para cada uma das situações que estamos discutindo nesta questão. Por isso, sugiro que confirme se o desenvolvimento dessa expressão está OK para você...

Se está tudo tranquilo até aqui, continuemos! Respira fundo e....bora lá

Na situação ( i ) , S = a x ( t ) , pois essa é a área pela qual passam as linhas de campo nesse caso. Por isso, o módulo da fem induzida é

ε = d Φ B d t = B a d x d t = B a v

Como a fem induzida é dada por ε = R I i n d , temos que

I i n d ( i ) = B a v R

Na situação i i i , como a área atravessada pelo campo diminui com a mesma taxa que aquela da situação ( i ) , a corrente induzida tem o mesmo módulo, isto é,

I i n d ( i i i ) = I i n d ( i ) = B a v R

Os Passos 1 e 2 são referentes ao item a) da questão!!

Passo 3

Considerando o item b) da questão, para calcularmos a força magnética resultante, usaremos a expressão

F → = I i n d   L → × B →

em que   L → é o vetor cuja direção e sentido é dado pelo sentido em que a corrente circula na espira.

Na situação ( i ) , como a corrente induzida está no sentido anti-horário, o vetor   L → em cada lado da espira é representado na figura abaixo pelas setas azuis. Realizando o produto vetorial de   L → com o campo nos lados da espiras que são paralelos ao eixo X , vemos que as forças nesses segmentos são de mesmo módulo, mesma direção, porém sentidos contrários:   F 1 → e   - F 1 → . Portanto, a força resultante na direção Y é zero!

Com isso, só precisamos calcular a força   F 2 → que atua no lado da espira paralelo ao eixo Y , como indicado na figura acima.

Nesse caso, temos os seguintes vetores:   L → = a   y ^ e   B → = - B   z ^ . Portanto, como   y ^   ×   z ^ =   x ^ , temos

F → R = I i n d i     L →   × B → = I i n d i a y ^ × - B z ^ = - I i n d i   a B   y ^ × z ^

F → R = - I i n d i   a B x ^

Como I i n d ( i ) = B a v / R .

F → R = - B 2 a 2 v R   x ^

Na situação ( i i ) , como vimos, I i n d ( i i ) = 0 . Isso significa que a força resultante na espira nesse caso é zero.

Na situação ( i i i ) , a corrente induzida está no sentido horário e, por isso, o produto   I i n d ( i i i ) L →   ×   B → ainda produz uma força na lateral paralela ao eixo Y no mesmo sentido que no caso ( i ) , ou seja, uma força também apontando para o sentido -   x ^ . O módulo dessa força é igual ao caso ( i ) e, por isso, temos uma força também dada por

F → R = - B 2 a 2 v R   x ^

Repare que nos lados da espira paralelos ao eixo Y , as forças continuam se cancelando e não contribuem para a força resultante.

Passo 4

Discutindo o item c):

Antes de esboçarmos os gráficos, vamos estudar um pouco sobre os intervalos de tempo relacionados ao movimento da espira. No tempo t = 0 , a espira começa a entrar na região de campo. Vamos separar essa discussão sobre o intervalo tempo em três etapas:

1) Como o movimento é MRU ( v é constante), x ( t ) aumenta linearmente com o tempo e ela gasta um tempo t p = a / v para entrar totalmente na região de   B → . Ela também leva um tempo igual a t p = a / v para poder sair dessa região.

2) Agora, considere o lado vertical da espira mais à sua esquerda, que a gente destaca lá na figura usando a chave em preto. Depois que a espira entrou totalmente dentro da região de campo, esse lado vertical gasta um tempo t l = l / v para chegar até o final da região de campo magnético.

Concorda? Checa isso lá na figura para não restarem dúvidas..

Uma vez que já estudamos sobre os intervalos de tempo, vamos resumir o que descobrimos sobre o fluxo magnético e sua taxa de variação com o tempo e colocar tudo junto num gráfico:

  1. Na situação ( i ) , o fluxo magnético, que é sempre positivo ( Φ B > 0 ), aumenta com o tempo à medida que a espira vai entrando na região de campo magnético e tem valor máximo Φ B = B a 2 quando a espira está toda dentro do campo. Como a velocidade da espira é constante, a área atravessada pelo  B → vai aumentando linearmente com o tempo e, por essa razão, d Φ B d t > 0 durante o tempo o t p .
  2. Na situação ( i i ) não há corrente induzida, pois o fluxo magnético é sempre constante e igual a Φ B = B a 2 em todo o percurso da espira. Existe fluxo magnético, mas ele permanece o mesmo durante todo o tempo t p - t l que a espira fica totalmente dentro da região de campo.
  3. Na situação ( i i i ) , a espira começa a sair da região de campo e a área atravessada pelas linhas de  B → diminui com o tempo. O fluxo magnético é positivo, como em todos os casos deste problema, porém, à medida que o tempo passa, seu valor diminui até se anular completamente, que é quando a espira está toda fora da região de campo. Por isso, do tempo t l até o instante t l + t p , d Φ B d t < 0 .

Se juntamos essas informações sobre o intervalo de tempo e sobre o fluxo magnético na espira, construímos o seguinte gráfico.

Para plotarmos a corrente induzida em função do tempo, precisamos nos lembrar que

  1. Na situação ( i ) , a corrente induzida é negativa e tem módulo I i n d = B a v / R durante o intervalo de tempo t p = a / v .
  2. Na situação ( i i ) , a corrente induzida é nula no intervalo de tempo t l - t p .
  3. Na situação ( i i i ) , a corrente induzido é positiva e tem módulo I i n d = B a v / R .
  4. Depois que a espira sai totalmente do campo, não há mais fluxo magnético, por isso a corrente induzida depois de um tempo t > t l + t p é nula.

Resposta

a)

Na situação ( i )

I i n d ( i ) = B a v R

Sentido: Anti-horário

Na situação ( i i )

I i n d ( i i ) = 0

Na situação i i i

I i n d ( i i i ) = B a v R

Sentido: Horário

b)

Na situação ( i )

F → R = - B 2 a 2 v R   x ^

Na situação ( i i )

F → R = 0 x ^

Na situação i i i

F → R = - B 2 a 2 v R   x ^

c)

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