Uma espira retangular muito longa, de largura L , resistência R e massa m , está inicialmente suspensa na presença de um campo magnético horizontal uniforme B → orientado para dentro do papel, que existe apenas acima do segmento de reta a a . Deixa-se cair a espira, que acelera sob ação da gravidade até atingir uma velocidade terminal v t .

a) Calcule a força eletromotriz induzida na espira, em função dos dados acima e da sua velocidade.

b) Calcule a intensidade e determine o sentido da corrente induzida (explique a sua resposta) na espira, em função dos dados acima e da sua velocidade.

c) Obtenha uma expressão para v t ignorando a resistência do ar.

Passo 1

Nesse problema vamos a lei da indução de Faraday:

E = - d Φ m d t

Com isso, se o fluxo magnético na espira variar com o tempo, uma corrente induzida vai aparecer na espira.

Para resolver esse tipo de problema, ajuda muito estabelecer um sistema de coordenadas:

Colocando o eixo x para direita e o eixo y para baixo, o eixo z apontará para dentro da tela, mesma direção do campo magnético. O fluxo magnético é definido por

Φ m = ∫ B → ⋅ d A →

Como o campo é uniforme, essa relação pode ser escrita como

Φ m = B → ⋅ n ^   A

Vamos adotar o vetor normal n ^ = z ^ . Assim, B → ⋅ n ^ = B , de modo que

Φ m = B A = B L D - y

Como adotamos a normal para dentro da tela, a orientação positiva da corrente induzida na espira é o sentido horário (regra da mão direita).

Passo 2

Como B , L e D são constantes, temos que

d Φ m d t = - B L d y d t

Mas d y d t = v é a velocidade com que a espira cai, de modo que

d Φ m d t = - B v L

Portanto,

E = - d Φ m d t → E = B v L

Essa é a fem induzida na espira devido à variação do fluxo magnético!

Passo 3

No item (b), nós queremos achar a corrente induzida no circuito. Para isso, usamos

E = R i → i = E R

Usando a resposta do item (a):

i = B v L R

Como essa corrente é positiva, pela orientação que escolhemos ela circula a espira no sentido horário.

Passo 4

O item (c) é o mais complicadinho. Queremos saber qual é a velocidade terminal de queda da espira. Como diabos fazer isso?

Primeiro vamos olhar para a corrente i calculada no item anterior percorrendo a espira:

Quando um fio em que passa correte está sob ação de campo magnético aparece uma força magnética no fio:

F → = i   l → × B →

No caso da espira, a parte dela que está na região onde existe o campo deve sofrer essa força. As forças nos fios laterais vão se cancelar, de modo que só importa o fio de cima. Nele, l = L   x ^ e B → = B z ^ . Portanto,

F → = i B L   x ^ × z ^ = - i B L   y ^

Desta forma, enquanto a gravidade puxa a espira na direção + y ^ , a força magnética é oposta. Podemos escrever a segunda lei de Newton para essa situação:

m a = m g - i B L

Usando a = d v / d t e i = B v L / R , temos que

m d v d t = m g - B 2 L 2 v R

Daqui nós poderíamos resolver a equação diferencial e achar v t . Mas não é isso que o problema pergunta. Ele quer saber a velocidade terminal.

Passo 5

Como a força de resistência é proporcional a velocidade, vai chegar um momento que a velocidade da espira vai ser tal que a força de resistência do ar vai anular o peso e a força resultante passará a ser zero. Nessa situação, o corpo cai com velocidade constante e essa velocidade é a velocidade terminal.

Para achar essa velocidade, basta fazer d v d t = 0 :

m g - B 2 L 2 v t R = 0

Assim,

v t = m g R B 2 L 2

Com isso terminamos o problema 😉.

Resposta

E = B v L

i = B v L R → s e n t i d o   h o r a r i o

v t = m g R B 2 L 2

Exercícios de Livros Relacionados

Quando a corrente em uma bobina de 8 H é igual a 3 A e aumenta para 200 A / s , determine a O fluxo magnético através da bobina e ( b ) a força eletromotriz induzida na bobina.
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 400 voltas que tem comprimento igual a 25,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 3,00 A .
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 800 voltas que tem comprimento igual a 30,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 2,00 A .
Um condutor cilíndrico longo com raio R e comprimento L conduz uma corrente I . Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento através da área indicada na Figura 28-44.
44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v