Uma espira retangular muito longa, de largura L , resistência R e massa m , está inicialmente suspensa na presença de um campo magnético horizontal uniforme B → orientado para dentro do papel, que existe apenas acima do segmento de reta a a . Deixa-se cair a espira, que acelera sob ação da gravidade até atingir uma velocidade terminal v t .

a) Calcule a força eletromotriz induzida na espira, em função dos dados acima e da sua velocidade.

b) Calcule a intensidade e determine o sentido da corrente induzida (explique a sua resposta) na espira, em função dos dados acima e da sua velocidade.

c) Obtenha uma expressão para v t ignorando a resistência do ar.

Passo 1

Nesse problema vamos a lei da indução de Faraday:

E = - d Φ m d t

Com isso, se o fluxo magnético na espira variar com o tempo, uma corrente induzida vai aparecer na espira.

Para resolver esse tipo de problema, ajuda muito estabelecer um sistema de coordenadas:

Colocando o eixo x para direita e o eixo y para baixo, o eixo z apontará para dentro da tela, mesma direção do campo magnético. O fluxo magnético é definido por

Φ m = ∫ B → ⋅ d A →

Como o campo é uniforme, essa relação pode ser escrita como

Φ m = B → ⋅ n ^   A

Vamos adotar o vetor normal n ^ = z ^ . Assim, B → ⋅ n ^ = B , de modo que

Φ m = B A = B L D - y

Como adotamos a normal para dentro da tela, a orientação positiva da corrente induzida na espira é o sentido horário (regra da mão direita).

Passo 2

Como B , L e D são constantes, temos que

d Φ m d t = - B L d y d t

Mas d y d t = v é a velocidade com que a espira cai, de modo que

d Φ m d t = - B v L

Portanto,

E = - d Φ m d t → E = B v L

Essa é a fem induzida na espira devido à variação do fluxo magnético!

Passo 3

No item (b), nós queremos achar a corrente induzida no circuito. Para isso, usamos

E = R i → i = E R

Usando a resposta do item (a):

i = B v L R

Como essa corrente é positiva, pela orientação que escolhemos ela circula a espira no sentido horário.

Passo 4

O item (c) é o mais complicadinho. Queremos saber qual é a velocidade terminal de queda da espira. Como diabos fazer isso?

Primeiro vamos olhar para a corrente i calculada no item anterior percorrendo a espira:

Quando um fio em que passa correte está sob ação de campo magnético aparece uma força magnética no fio:

F → = i   l → × B →

No caso da espira, a parte dela que está na região onde existe o campo deve sofrer essa força. As forças nos fios laterais vão se cancelar, de modo que só importa o fio de cima. Nele, l = L   x ^ e B → = B z ^ . Portanto,

F → = i B L   x ^ × z ^ = - i B L   y ^

Desta forma, enquanto a gravidade puxa a espira na direção + y ^ , a força magnética é oposta. Podemos escrever a segunda lei de Newton para essa situação:

m a = m g - i B L

Usando a = d v / d t e i = B v L / R , temos que

m d v d t = m g - B 2 L 2 v R

Daqui nós poderíamos resolver a equação diferencial e achar v t . Mas não é isso que o problema pergunta. Ele quer saber a velocidade terminal.

Passo 5

Como a força de resistência é proporcional a velocidade, vai chegar um momento que a velocidade da espira vai ser tal que a força de resistência do ar vai anular o peso e a força resultante passará a ser zero. Nessa situação, o corpo cai com velocidade constante e essa velocidade é a velocidade terminal.

Para achar essa velocidade, basta fazer d v d t = 0 :

m g - B 2 L 2 v t R = 0

Assim,

v t = m g R B 2 L 2

Com isso terminamos o problema 😉.

Resposta

E = B v L

i = B v L R → s e n t i d o   h o r a r i o

v t = m g R B 2 L 2

Exercícios de Livros Relacionados