Uma espira quadrada de lado 2 b é percorrida por uma corrente no sentido anti-horário. A corrente varia com o tempo e é dada por I t = C t , onde C > 0 é uma constante.

(a) Usando a lei de Biot-Savart, calcule o vetor campo magnético produzido pela espira quadrada na origem do sistema de coordenadas.

(b) Considere um anel condutor de raio a ≪ b centrado na origem. Calcule a corrente induzida no anel pela espira quadrada e indique seu sentido. Considere que o anel possui resistência R . Sugestão: Assuma que o campo magnético produzido pela espira quadrada é uniforme próximo à origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

A lei de Biot-Savart nos diz que:

d B → = μ 0 4 π I d l → × r ^ r 2 .

Vamos começar calculando B → para um dos lados (o da direita):

d B 1 → = μ 0 4 π I d l sen ⁡ α l 2 + b 2 k ^ ,

d B 1 → = μ 0 4 π I b d l l 2 + b 2 3 / 2 k ^ .

onde α é o ângulo entre d l → e r ^ e r 2 = l 2 + b 2 . Temos que:

B 1 → = μ 0 I 4 π k ^ ∫ - b b b   d l l 2 + b 2 3 / 2 .

Fazemos l = b tan ⁡ θ → d l = b sec 2 ⁡ θ d θ . Temos:

B 1 → = μ 0 I 4 π k ^ ∫ - π / 4 π / 4 b 2 sec 2 ⁡ θ d θ b 3 1 + tan 2 ⁡ θ 3 / 2 ,

B 1 → = μ 0 I 4 π b k ^ ∫ - π / 4 π / 4 d θ sec ⁡ θ = μ 0 I 4 π b k ^ ∫ - π / 4 π / 4 cos ⁡ θ d θ ,

B 1 → = μ 0 I 4 π b k ^ sen ⁡ θ - π / 4 π / 4 = μ 0 I 2 2 π b k ^ .

Por fim, como I = C t ,

B 1 → = μ 0 C t 2 2 π b k ^ .

Por simetria, o campo magnético produzido pelos quatro lados da espira é obtido como:

B → = 4 B 1 → = 2 μ 0 C t 2 π b k ^ .

Passo 2

Para o item (b), determinamos inicialmente a força eletromotriz através da lei de Faraday:

ε = - d ϕ B d t = - π a 2 d B t d t ,

ε = - 2 μ 0 C a 2 2 b .

A corrente induzida I i n d (em módulo) será dada por:

I i n d = | ε | R = 2 μ 0 C a 2 2 b R .

Para determinar seu sentido, pensamos na Lei de Lenz: o campo B t está aumentando no sentido positivo do eixo z e, portanto, o fluxo também estará. Assim sendo, a corrente induzida se opõe a esse crescimento, gerando uma corrente no sentido horário.

Resposta

(a) B → = 2 μ 0 C t 2 π b k ^ .

(b) I i n d = 2 μ 0 C a 2 2 b R , no sentido horário.

Exercícios de Livros Relacionados