Um campo magnético uniforme passo pelo interior de uma região circular de raio a e é perpendicular ao plano definido por essa região e sua intensidade aumenta a uma taxa constante d B / d t . O gráfico que melhor representa o módulo do campo elétrico induzido para pontos internos e externos à região onde B é diferente de zero vale:

Passo 1

Para facilitar a resolução e o entendimento desta questão, neste Passo 1, vamos apenas ilustrar e discutir a situação do enunciado através da figura abaixo. Essa representação vai nos ajudar bastante a resolver esse problema e outros similares. Vamos lá! Tenta acompanhar a discussão abaixo lentamente, lendo com cuidado, porque essa questão é típica das provas...

Vamos tomar uma região de raio a que delimita uma área π a 2 com um contorno C orientado cujo elemento d l → é tangente a cada ponto dessa curva. Perpendicular a essa região, há um campo magnético B → que varia com o tempo e sua intensidade aumenta com uma taxa constante d B d t > 0 , como mostra a figura abaixo.

Além disso, colocamos o elemento de área   d A → paralelo à B → e, durante todo o tempo em que o campo aumenta, esses dois vetores são paralelos. Faremos a análise para os casos em que r < a e r > a utilizando, para isso, as curvas tracejadas da figura acima.

Você deve estar se perguntando sobre o vetor   E → que aparece lá na figura...Em nossa discussão sobre a física dessa questão, você vai ver como ele aparece... :-0

Passo 2

Temos uma situação em que o campo magnético é sempre perpendicular à uma região de raio a , mas sua intensidade aumenta de maneira constante com o tempo. Portanto, existe um fluxo magnético variável com o tempo através da área π a 2 que o contorno C delimita. Essa variação do fluxo magnético Φ B produz uma fem induzida no contorno C .

Matematicamente, a gente pode escrever a fem induzida ε como

ε = ∮ C E → . d l → = - d Φ B d t

em que   E → é campo elétrico, de origem não eletrostática, que aparece lá na figura. Agora, por que esse campo é sempre tangente ao contorno C ? Vamos ver isso com cuidado!!

Se o campo elétrico E → tivesse alguma componente radial, ou seja, alguma componente ao longo da direção do raio a , isso indicaria a presença de carga dentro da região a , pois poderíamos pensar em superfície gaussiana cilíndrica envolvendo toda a região de raio a e o fluxo através dessa gaussiana seria diferente de zero pela lei de Gauss! Concorda?

Por isso, como nessa questão não há carga dentro da região do contorno C , então o campo elétrico E → é sempre tangente a todos os pontos de C e tem o mesmo valor em todos esses pontos. Assim, como  E → é sempre paralelo ao elemento   d l → , podemos escrever que

ε = ∮ C E → . d l → = ∮ C E d l = E ∮ C d l = E ( 2 π r )

sendo 2 π r   o comprimento do circuito C . Vamos olhar agora como fica o termo d Φ B d t .

Passo 3

Vamos nos concentrar no fluxo magnético Φ B . B → é sempre paralelo à área da região de raio a . Se consideramos um instante de tempo t arbitrário, o campo que atravessa a área tem o mesmo valor em todos os seus pontos. Isso nos permite representar o fluxo magnético através de uma área de raio r como

Φ B = ∫ S B → . d A → = ∫ S B d A = B ∫ S d A = B ( π r 2 )

sendo que podemos considerar regiões em que r < a e r > a . Essa expressão nos mostra que o fluxo magnético varia porque o campo magnético aumenta com o tempo a uma taxa constante d B d t > 0 .

Passo 4

Agora, vamos tomar a expressão ε em termos do campo elétrico   E → e substituir Φ B nela para r < a e r > a .

Para r < a , o módulo de   E → pode ser escrito como

E 2 π r = - d Φ B d t = π r 2 d B d t ⇒ E = d B d t r 2 > 0

que tem um comportamento linear com a distância r .

Para r > a , a área pela qual o campo magnético varia é π r 2 = π a 2 . Por isso, o módulo do campo elétrico   E → neste caso é

E 2 π r = π a 2 d B d t ⇒ E = a 2 2 r d B d t

que decresce com o aumento da distância r .

Por isso temos o seguinte:

  1. r < a : E = d B d t r 2 > 0
  2. r > a : E = a 2 2 r d B d t > 0  

O gráfico que representa corretamente esse comportamento é o do item IV.

Resposta

Portanto, a resposta correta é a letra d).

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