Um arame metálico, de resistência desprezível, forma um circuito circular, de raio r   =   0,20   m , contendo um capacitor de capacitância C   =   4,0   μ F , em série com um resistor de resistência igual a   R   =   2,0   k Ω , como mostrado na figura 1. Este arame se encontra no plano x-y. A este sistema é aplicado um campo magnético, uniforme no espaço, dado por t > 0 ,   B →   ( t )   =   B 0   λ   t   z ̂ , onde B 0   =   1,0   T e λ =   0,5   s - 1 .

a) Calcule a f . e . m . instantânea sobre o aro como função do tempo.

b) Supondo que, em t = 0 s, o capacitor estava descarregado e a corrente no aro era nula, obtenha a carga instantânea sobre o capacitor e a corrente sobre o aro como função do tempo.

c) Calcule a potência total dissipada no resistor quando t → ∞ .

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

Letra (a):

A f e m surge da variação do fluxo sobre a espira, certo? O fluxo magnético é:

Φ = B A c o s θ

Como o campo é na direção de + z e o vetor normal à área da espira, então o ângulo entre eles é 0 e c o s 0 = 1 . A única quantidade que varia com o tempo é o campo, então derivando em relação ao tempo o fluxo, temos a fem induzida:

ϵ = d Φ d t = d d t B 0 λ t   . π r 2 = B 0 λ π r 2

Os dados são:

B 0 = 1 T

r = 0,2 m

λ = 0,5 s - 1

Agora é só substituir:

ϵ = 1.0,5 . π 0,2 2 = 0,0628 V

Tranquilo?

Passo 2

Quando olhamos para a espira como um circuito, temos um circuito R C . A equação diferencial que descreve esse circuito é:

ϵ = R d q d t + q C

E a solução da carga (carregamento do capacitor) em função do tempo para essa equação é:

q t = C ϵ 1 - e - t R C

Os dados são:

R = 2 × 10 3 Ω

C = 4 × 10 - 6 F

ϵ = 0,0628 V

Agora é só substituir:

R C = 2 × 10 3 . 4 × 10 - 6 = 8 × 10 - 3

E a carga em função do tempo é:

q t = 4 × 10 - 6 . 0,0628 1 - e - t 8 × 10 - 3

q t = 2,512 × 10 - 7 1 - e - t 8 × 10 - 3

E agora a corrente. Na situação de carregamento, a expressão para corrente num circuito R C é:

i t = ϵ R e - t R C = 0,068 2 × 10 3 e - t 8 × 10 - 3

i t = 3,14 × 10 - 5 e - t 8 × 10 - 3

Beleza até aqui?

Passo 3

Letra (c):

E a potência dissipada pelo resistor é:

P = ϵ 2 R = 0,0628 2 2 × 10 3 = 1,97 × 10 - 6 W

Espero ter ajudado!

Resposta

( a ) 0,0628 V

b q t = 2,512 × 10 - 7 1 - e - t 8 × 10 - 3

i t = 3,14 × 10 - 5 e - t 8 × 10 - 3

( c ) 1,97 × 10 - 6 W

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