4 . Uma barra condutora se move com velocidade constante v → e atrito desprezível sobre um par de trilhos condutores com a forma mostrada na figura abaixo. O sistema está imerso em um campo magnético constante B → que aponta para dentro do plano do papel. Sabendo que no instante t = 0 a barra se encontra no ponto de cruzamento dos trilhos, qual dos gráficos abaixo melhor representa o comportamento do módulo do fluxo de campo magnético através da área definida pelo circuito como função do tempo t ?

Escolha uma:

a .

b .

c .

d .

e .

f .

Passo 1

Vem comigo para gente detonar essa questão!

O fluxo do campo magnético é dado por:

Φ B = B A

No nosso caso como a área varia com o tempo, temos que:

Φ B ( t ) = B A ( t )

Então para termos uma ideia de como é o gráfico do fluxo temos que encontrar como a área varia com tempo no intervalo 0 < t < a / v e no intervalo t > a / v .

Mãos à obra então!

Passo 2

Temos que encontrar como a área varia com o tempo em cada intervalo de tempo.

No intervalo 0 < t ≤ a / v a barra se move no trecho em que os trilhos junto a barra formam um triangulo, já que t = a / v é o tempo que ela leva para completar esse percurso.

A barra sempre se move na direção x com uma velocidade v então sua posição varia com o tempo, logo x t = v ( t ) .

E enquanto ela está no trecho que os trilhos são inclinados o quanto que a barra está sobre esses trilhos vai aumentando com o tempo logo a posição na direção y também varia com o tempo, logo temos um y ( t ) .

Então podemos estabelecer uma relação entre o triangulo de altura a e base b , com o triangulo formado pela barra es os trilhos, da seguinte forma:

y t x t = b a

⇒ y t = b a x ( t )

Então nesse intervalo de tempo temos que A ( t ) é dado por:

A t = 1 2 x t y ( t )

Que é a área do triangulo, usando o que sabemos, temos:

A t = 1 2 x t b a x ( t )

E que x t = v t , ficamos com:

A t = 1 2 v t b a v t

⇒ A t = b 2 a v 2 t 2

Passo 3

No intervalo t > a / v temos que a barra se encontra na parte retilínea do trilho.

Logo a área que ela forma com o trilho vai se dá pela soma da área do triangulo que não vai mais mudar com a de um retângulo que muda conforme a barra se move.

A área de um retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Nesse caso a altura não muda ela tem o valor constante de b .

Agora a base varia com o tempo, ela é dada pela posição x ( t ) menos a que corresponde a parte do triângulo, logo temos que:

A t = 1 2 a b + ( x t - a ) b

Usando que x t = v t , temos:

A t = 1 2 a b + ( v t - a ) b

= v t - a 2 b

Passo 4

Agora podemos encontrar o fluxo do campo para cada intervalo de tempo.

Primeiro para 0 < t < a / v , temos:

Φ B ( t ) = B A ( t )

⇒ Φ B ( t ) = B b 2 a v 2 t 2

Agora para t > a / v , temos:

Φ B ( t ) = B A ( t )

⇒ Φ B ( t ) = B v t - a 2 b

Passo 5

Agora vamos ver como fica o gráfico pedido.

No intervalo 0 < t < a / v o fluxo tem o seguinte comportamento

Φ B ( t ) = B b 2 a v 2 t 2

E o no intervalo t > a / v , temos:

Φ B ( t ) = B v t - a 2 b

Assim o gráfico fica da seguinte forma:

Então nossa alternativa certa é a letra e .

Resposta

e .

Exercícios de Livros Relacionados