Considere uma espira circular, flexível e condutora de raio variável no tempo  R t , imersa em um campo magnético uniforme, perpendicular ao seu plano. Para manter uma força eletromotriz variando linearmente com o tempo t , o seu raio deveria variar de acordo com (onde a é uma constante):

Passo 1

O primeiro passo aqui, galera, é identificar o assunto da questão. Discutindo, rapidão, o enunciado, a gente tem o seguinte:

  1. Uma espira circular e condutora, por isso é fácil medir uma corrente que eventualmente passe por ela;
  2. Além disso, essa espira, que tem o raio R t variável (por isso flexível!), delimita uma área variável;
  3. Um campo magnético, que é o mesmo em todo os pontos do espaço em todo o tempo, ou seja, uniforme e constante.

Então, já sacou, né? Um vetor passando por uma área, logo vem na cabeça a ideia de fluxo e, no caso, de fluxo magnético:

Φ B = ∫   B →   .   d A →

em que   d A → = n ^   d A é área da espira n ^ é a direção do vetor área perpendicular à superfície. Como tem um produto escalar aí na expressão, a gente precisa definir bem a direção dos vetores   B → e   d A → . Vamos colocar, por exemplo, como está na figura: os dois paralelos apontando para cima.

Passo 2

Bom, agora, se tem força eletromotriz, então deve haver variação do fluxo magnético com o tempo. Mas, olha bem para espira: o campo é sempre o mesmo em todo lugar o todo tempo todo, ou seja, ele é uniforme e constante e a espira não está girando. Então, o que é que tá fazendo o fluxo variar no tempo? O raio R t e, portanto, a área da espira é que vai variar no tempo!

Como o campo é constante, e colocando o elemento de área   d A → apontando na mesma direção de   B → como na figura, o fluxo fica escrito como:

Φ B = B A = B π R t 2

Passo 3

Agora que já sabemos o fluxo, derivamos em relação ao tempo (lembrando da regra da cadeia!), para obter (tomando apenas o módulo da força eletromotriz):

ε = d Φ B d t = 2 π B R t d R ( t ) d t

Passo 4

Para que ε varie linearmente com o tempo, como pede a questão, devemos derivar R ( t ) e multiplicar por ele mesmo (aproveita para dar uma olhada verificar isso na equação do Passo 3!) e obter o comportamento de uma reta. Portanto, o próprio raio R ( t ) deve ser uma função linear do tempo:

R t = a t .

Resposta

Derivando o raio   R t = a t (resposta da letra a) e substituindo em ε , temos

ε = 2 π a 2 B t

que varia linearmente com o tempo t , como pedido na questão.

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