Uma barra condutora perfeita (com resistência nula) desliza sem atrito com velocidade v , para a esquerda, sobre dois fios condutores também perfeitos. Dois resistores R 1 e R 2 estão conectados às extremidades dos dois fios, formando o circuito mostrado na figura. A distância entre os fios horizontais é l , entre os resistores é d , e da barra ao resistor R 1 é x . Um campo magnético uniforme e constante de intensidade B é aplicado perpendicularmente ao circuito, para fora da página. Ao calcular o fluxo magnético através de qualquer superfície, adote o vetor normal à superfície, na mesma direção e sentido do campo magnético.

a ) Determine o sentido (horário ou anti-horário) da corrente na porção do circuito à direita da barra justificando a sua resposta por meio da Lei de Lenz.

b ) Calcule o fluxo magnético através da porção do circuito à direita da barra. Determine a corrente que atravessa o resistor R 2 por meio da Lei de Faraday.

c ) Determine o sentido (horário ou anti-horário) da corrente na porção do circuito à esquerda da barra justificando a sua resposta por meio da Lei de Lenz.

d ) Calcule o fluxo magnético através da porção do circuito à esquerda da barra. Determine a corrente que atravessa o resistor R 1 por meio da Lei de Faraday.

e ) Calcule a intensidade e a direção da força magnética exercida sobre a barra. Essa força é de aceleração ou de frenagem?

Passo 1

a ) Determine o sentido (horário ou anti-horário) da corrente na porção do circuito à direita da barra justificando a sua resposta por meio da Lei de Lenz.

A Lei de Lenz diz que:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Mas basicamente o que nós precisamos tirar disso é que:

Se o fluxo do campo magnético está aumentando, o campo induzido tenta atrapalhar ele (corrente no sentido horário). Se o fluxo está diminuindo, o campo induzido tenta ajudar ele (corrente no sentido anti-horário).

Ok! O fluxo do campo magnético é dado por (no caso de um campo magnético uniforme):

ϕ B = B → ∙ A →

∂ ϕ B ∂ t = ∂ ∂ t B → ∙ A →

O campo magnético é constante e está saindo da folha, portanto, ele é positivo.

∂ ϕ B ∂ t = B ∂ A ∂ t

Como a área está aumentando, isso faz com que a variação da área com o tempo seja positiva:

∂ A ∂ t > 0

Logo:

∂ ϕ B ∂ t > 0

Opa! Como o fluxo do campo magnético está aumentando, a corrente estará no sentido horário.

Passo 2

b ) Calcule o fluxo magnético através da porção do circuito à direita da barra. Determine a corrente que atravessa o resistor R 2 por meio da Lei de Faraday.

Por definição, o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Como o campo magnético B → é uniforme e constante, podemos simplificar essa expressão para:

ϕ B = B A

Onde A é a área da porção à direita da barra, dada por:

A = l d - x

Portanto:

ϕ 2 B = B l d - x

Passo 3

A Lei de Faraday é dada por:

ε 2 = - ∂ ϕ 2 B ∂ t

Então, basta substituir a expressão de ϕ B que acabamos de calcular:

ε 2 = - ∂ B l d - x ∂ t = - B l ∂ d - x ∂ t

ε 2 = B l ∂ x ∂ t

Como x está diminuindo com o tempo d x d t = - v .

ε 2 = - B l v

Pra determinar a corrente, basta usar a Lei de Ohm:

I 2 = ε 2 R 2

I 2 = - B l v R 2

Passo 4

c ) Determine o sentido (horário ou anti-horário) da corrente na porção do circuito à esquerda da barra justificando a sua resposta por meio da Lei de Lenz.

A variação do campo magnético é dada por.

∂ ϕ B ∂ t = B ∂ A ∂ t

Nesse caso, como a área está diminuindo, isso faz com que a variação da área com o tempo seja negativa:

∂ A ∂ t < 0

Logo:

∂ ϕ B ∂ t < 0

Como o fluxo do campo magnético está diminuindo, a corrente estará no sentido anti-horário.

Passo 5

d ) Calcule o fluxo magnético através da porção do circuito à esquerda da barra. Determine a corrente que atravessa o resistor R 1 por meio da Lei de Faraday.

Novamente, o fluxo magnético será dado por:

ϕ B = B A

Onde A é a área da porção à esquerda da barra, dada por:

A = l x

Portanto:

ϕ 1 B = B l x

Passo 6

Novamente, a Lei de Faraday é dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Substituindo a expressão de ϕ 1 B que acabamos de calcular, teremos:

ε 1 = - ∂ B l x ∂ t = - B l d x d t

Novamente, como x diminui com o tempo d x d t = - v , logo:

ε 1 = B l x

Assim, a corrente será dada por:

I 1 = ε 1 R 1

I 1 = B l v R 1

Passo 7

e ) Calcule a intensidade e a direção da força magnética exercida sobre a barra. Essa força é de aceleração ou de frenagem?

A força magnética sobre um condutor retilíneo é dada por:

F → m = I L → × B →

Como o problema apenas pede a intensidade da força magnética, teremos:

F m = I l B

Sobre a barra, tanto a corrente I 1 quanto a corrente I 2 fluem de baixo para cima, logo, a corrente total sobre a barra é:

I = I 1 + I 2 = B l v R 1 + B l v R 2 = B l v 1 R 1 + 1 R 2

Portanto, a força magnética será:

F m = B l v 1 R 1 + 1 R 2 l B

F m = B 2 l 2 v 1 R 1 + 1 R 2

Como a corrente flui de baixo para cima e o campo magnético está saindo da página, o produto vetorial L → × B → apontará da esquerda para a direita.

Portanto, a força magnética aponta da esquerda para a direita. Sendo assim, é força de frenagem.

Resposta

a )

A corrente estará no sentido horário.

b )

ϕ 2 B = B l d - x

I 2 = - B l v R 2

c )

A corrente estará no sentido anti-horário

d )

ϕ 1 B = B l x

I 1 = B l v R 1

e )

F m = B 2 l 2 v 1 R 1 + 1 R 2

A força magnética aponta da esquerda para a direita. Sendo assim, é força de frenagem.

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