Uma barra de comprimento L e resistência R move-se com velocidade v → ao longo de trilhos horizontais condutores ideais (sem resistência) e sem atrito, conforme figura abaixo.

a ) Supondo que B → = B 0 e - α t   z ^   [ T ] , com α > 0 , calcule a corrente induzida no circuito e a sua direção se v → = v 0   x ^   [ m / s ] e em t = 0 temos x = 0   [ m ] .

b ) Existe algum instante de tempo em que a corrente induzida seja zero? Se sim, qual? (justifique as suas afirmações).

c ) Supondo que B → = B 0   z ^   [ T ] , calcule a corrente induzida no circuito indicando seu sentido em cada quadrante de ω t , isto é, em 0 , π 2 ; π 2 ,   π ; π , 3 2 . π ; [ 3 2 . π ,   2 π ] se a posição da barra é dada por x = L 1 - cos ⁡ ω t ) m .

Passo 1

a )    

Para determinar a corrente no circuito, precisamos achar a fem induzida, vamos utilizar a Lei de Faraday, ela dos diz:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Vamos primeiro calcular o fluxo ϕ [ B ] , se liga!

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Arbitrando o vetor área no mesmo sentido do campo magnético, temos:

ϕ B = B ( t ) . A

Sendo a área A = L . x , onde x é a posição da barra, dada pela seguinte relação:

x = v 0 . t

substituindo o fluxo na equação da Lei de Faraday, temos:

ε = - ∂ ( B 0 e - α . t . L . v 0 . t ) ∂ t

ε = - B 0 . L . v 0   ∂ t . e - α . t ∂ t

Calculando a derivada, temos:

ε = - B 0 . L . v 0 . [ e - α . t - α . t e - α . t ]

Substituindo na Lei de Faraday:

ε = - B 0 . L . v 0 . 1 - α . t . e - α . t

Agora que temos a f e m induzida, podemos achar a corrente, basta fazer:

i = ε R

i = - B 0 . L . v 0 R . 1 - α . t . e - α . t   [ A ]

Como arbitramos o vetor área paralelo ao campo, temos que o sentido da corrente será horário quando for positiva, ou seja, 1 - α . t < 0 . E terá sentido anti-horário quando for negativa, ou seja, 1 - α . t > 0 .

Passo 2

b )

Podemos ver, pela equação da corrente que todas as constantes, inclusive a exponencial serão sempre não nulos, nesse caso, a corrente somente se anulará quando:

α . t - 1 = 0

t = 1 α

Passo 3

c )

Para resolver esse item, vamos fazer o mesmo mimimi que fizemos no item a só que agora, temos B → = B 0   z ^ e x = L [ 1 - cos ⁡ ω . t ] , vamos começar com a Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Vamos primeiro calcular o fluxo ϕ [ B ] , se liga!

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Arbitrando o vetor área no mesmo sentido do campo magnético, temos:

ϕ B = B 0 . A

Sendo a área A = L . x , substituindo o fluxo na equação da Lei de Faraday, temos:

ε = - ∂ ( B 0 . L . L [ 1 - cos ⁡ ω . t ] ) ∂ t

ε = - B 0 . L 2 ∂ [ 1 - cos ⁡ ω . t ] ∂ t

Vamos agora calcular a derivada, se liga:

ε = - B 0 . L 2 . ω sen ⁡ ( ω . t )

Para a corrente, temos:

i = ε R

i = - B 0 . L 2 . ω R sen ⁡ ω . t   [ A ]

Como arbitramos o vetor área paralelo ao vetor campo, temos que o sentido da corrente será horário nos intervalos π , 3 2 . π ; [ 3 2 . π ,   2 π ] e anti-horário nos intervalos 0 , π 2 ; π 2 ,   π .

Resposta

a )   i = - B 0 . L . v 0 R . 1 - α . t . e - α . t   [ A ]

Horário:   1 - α . t < 0

Anti-horário:   1 - α . t > 0

b ) t = 1 α

c )   i = - B 0 . L 2 . ω R sen ⁡ ω . t   [ A ]

Horário: π , 3 2 . π ; [ 3 2 . π ,   2 π ]

Anti-horário:   0 , π 2 ; π 2 ,   π

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