4 . Uma barra condutora fina se move com velocidade constante v → = v x ^   ( v > 0 ) sobre um par de trilhos condutores finos, como mostrado na figura abaixo. O trecho em que os trilhos estão angulados tem um comprimento horizontal a e a separação entre os trilhos no trecho em que eles são paralelos vale b . No instante t = 0 , a barra se encontra no ponto onde os trilhos se encontram. O atrito entre os trilhos e a barra é desprezível e todo o sistema está imerso em uma região de campo magnético constante B → = - B z ^   ( B > 0 ) .

( a ) Determine o módulo do fluxo de campo magnético através da área definida pelos trilhos e a barra como função do tempo t , considerando os intervalos ( i )   0 < t ≤ a / v e ( i i )   t > a / v . Sugestão: Para o intervalo ( i ) , utilize uma semelhança de triângulos para obter uma relação entre a porção de comprimento da barra dentro do circuito e o seu deslocamento horizontal.

( b ) Determine o módulo e o sentido da força eletromotriz induzida no sistema como função do tempo t , considerando os mesmos intervalos.

(c) Esboce os gráficos dos módulos do fluxo e da força eletromotriz induzida como função de t , destacando os valores relevantes.

Passo 1

Vem comigo para gente detonar essa questão!

O item ( a ) pede o fluxo do campo magnético que passa pela área limitada pelos trilhos e a barra. O fluxo pode ser encontrado através da seguinte equação:

Φ B = ∫ A B → ⋅ d A →

Mas como a barra se move com o tempo, essa área varia com o tempo, assim nossa equação fica da seguinte maneira:

Φ B ( t ) = ∫ A ( t ) B → ⋅ d A →

Assim como o campo é constante, temos:

Φ B ( t ) = B → ∫ A ( t ) d A →

= B → ⋅ A → ( t )

Tomando que o vetor área tem a mesma direção que o campo temos que:

Φ B ( t ) = B A ( t )

Então temos que encontrar como a área varia com tempo para cada intervalo de tempo pedido no enunciado.

Para encontrar a força eletromotriz pedida em ( b ) basta usar o fato de que ela é dada pela variação temporal do fluxo do campo, então temos:

ε i n d t = - d Φ B d t

Então basta fazer essa conta com o fluxo Φ B de cada intervalo de tempo.

E para o item ( c ) teremos que montar apenas os gráficos do módulo do que encontrarmos em a e ( b ) .

Mãos à obra então!

Passo 2

Vamos começar com item ( a ) .

Temos que encontrar como a área varia com o tempo em cada intervalo de tempo.

No intervalo 0 < t ≤ a / v a barra se move no trecho em que os trilhos junto a barra formam um triangulo, já que t = a / v é o tempo que ela leva para completar esse percurso.

A barra sempre se move na direção x com uma velocidade v então sua posição varia com o tempo, logo x t = v ( t ) .

E enquanto ela está no trecho que os trilhos são inclinados o quanto que a barra está sobre esses trilhos vai aumentando com o tempo logo a posição na direção y também varia com o tempo, logo temos um y ( t ) .

Então podemos estabelecer uma relação entre o triangulo de altura a e base b , com o triangulo formado pela barra es os trilhos, da seguinte forma:

y t x t = b a

⇒ y t = b a x ( t )

Então no intervalo de tempo ( i ) temos que A ( t ) é dado por:

A t = 1 2 x t y ( t )

Que é a área do triangulo, usando o que sabemos, temos:

A t = 1 2 x t b a x ( t )

E que x t = v t , ficamos com:

A t = 1 2 v t b a v t

⇒ A t = b 2 a v 2 t 2

Passo 3

No intervalo t > a / v temos que a barra se encontra na parte retilínea do trilho.

Logo a área que ela forma com o trilho vai se dá pela soma da área do triangulo que não vai mais mudar com a de um retângulo que muda conforme a barra se move.

A área de um retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Nesse caso a altura não muda ela tem o valor constante de b .

Agora a base varia com o tempo, ela é dada pela posição x ( t ) menos a que corresponde a parte do triângulo, logo temos que:

A t = 1 2 a b + ( x t - a ) b

Usando que x t = v t , temos:

A t = 1 2 a b + ( v t - a ) b

= v t - a 2 b

Passo 4

Agora podemos encontrar o fluxo do campo para cada intervalo de tempo.

Primeiro para ( i ) , temos:

Φ B ( t ) = B A ( t )

⇒ Φ B ( t ) = B b 2 a v 2 t 2

Agora para ( i i ) , temos:

Φ B ( t ) = B A ( t )

⇒ Φ B ( t ) = B v t - a 2 b

Prontinho o item ( a ) está feito.

Passo 5

Vamos para o item ( b ) .

Primeiro para o intervalo de tempo ( i ) . Nesse intervalo temos:

Φ B ( t ) = B b 2 a v 2 t 2

Logo a força eletromotriz é dada por:

ε i n d t = - d Φ B d t

= - d d t B b 2 a v 2 t 2

⇒ ε i n d t = - B b a v 2 t

Agora para o intervalo ( i i ) , temos:

Φ B ( t ) = B v t - a 2 b

a força eletromotriz é dada por:

ε i n d t = - d Φ B d t

= - d d t B v t - a 2 b

⇒ ε i n d t = - b B v

Item ( b ) finalizado.

Passo 6

Agora vamos ver como fica os gráficos pedidos em ( c ) .

Primeiro para o módulo do fluxo que encontramos em ( a ) .

No intervalo ( i ) o fluxo tem o seguinte comportamento

Φ B ( t ) = B b 2 a v 2 t 2

E o no intervalo ( i i ) , temos:

Φ B ( t ) = B v t - a 2 b

Assim o gráfico fica da seguinte forma:

Agora o módulo da força eletromotriz que encontramos em ( b ) .

No intervalo ( i ) o fluxo tem o seguinte comportamento

ε i n d t = B b a v 2 t

E o no intervalo ( i i ) , temos:

ε i n d t = b B v

Assim o gráfico fica da seguinte forma:

Resposta

( a )

Para ( i ) , temos:

Φ B ( t ) = B b 2 a v 2 t 2

Para ( i i ) , temos:

Φ B ( t ) = B v t - a 2 b

( b )

Para ( i ) , temos:

ε i n d t = - B b a v 2 t

Para ( i i ) , temos:

ε i n d t = - b B v

( c )

Exercícios de Livros Relacionados

Quando a corrente em uma bobina de 8 H é igual a 3 A e aumenta para 200 A / s , determine a O fluxo magnético através da bobina e ( b ) a força eletromotriz induzida na bobina.
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Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 800 voltas que tem comprimento igual a 30,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 2,00 A .
Um condutor cilíndrico longo com raio R e comprimento L conduz uma corrente I . Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento através da área indicada na Figura 28-44.
44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v