4 . Uma barra condutora fina se move com velocidade constante v → = v x ^   ( v > 0 ) sobre um par de trilhos condutores finos, como mostrado na figura abaixo. O trecho em que os trilhos estão angulados tem um comprimento horizontal a e a separação entre os trilhos no trecho em que eles são paralelos vale b . No instante t = 0 , a barra se encontra no ponto onde os trilhos se encontram. O atrito entre os trilhos e a barra é desprezível e todo o sistema está imerso em uma região de campo magnético constante B → = - B z ^   ( B > 0 ) .

( a ) Determine o módulo do fluxo de campo magnético através da área definida pelos trilhos e a barra como função do tempo t , considerando os intervalos ( i )   0 < t ≤ a / v e ( i i )   t > a / v . Sugestão: Para o intervalo ( i ) , utilize uma semelhança de triângulos para obter uma relação entre a porção de comprimento da barra dentro do circuito e o seu deslocamento horizontal.

( b ) Determine o módulo e o sentido da força eletromotriz induzida no sistema como função do tempo t , considerando os mesmos intervalos.

(c) Esboce os gráficos dos módulos do fluxo e da força eletromotriz induzida como função de t , destacando os valores relevantes.

Passo 1

Vem comigo para gente detonar essa questão!

O item ( a ) pede o fluxo do campo magnético que passa pela área limitada pelos trilhos e a barra. O fluxo pode ser encontrado através da seguinte equação:

Φ B = ∫ A B → ⋅ d A →

Mas como a barra se move com o tempo, essa área varia com o tempo, assim nossa equação fica da seguinte maneira:

Φ B ( t ) = ∫ A ( t ) B → ⋅ d A →

Assim como o campo é constante, temos:

Φ B ( t ) = B → ∫ A ( t ) d A →

= B → ⋅ A → ( t )

Tomando que o vetor área tem a mesma direção que o campo temos que:

Φ B ( t ) = B A ( t )

Então temos que encontrar como a área varia com tempo para cada intervalo de tempo pedido no enunciado.

Para encontrar a força eletromotriz pedida em ( b ) basta usar o fato de que ela é dada pela variação temporal do fluxo do campo, então temos:

ε i n d t = - d Φ B d t

Então basta fazer essa conta com o fluxo Φ B de cada intervalo de tempo.

E para o item ( c ) teremos que montar apenas os gráficos do módulo do que encontrarmos em a e ( b ) .

Mãos à obra então!

Passo 2

Vamos começar com item ( a ) .

Temos que encontrar como a área varia com o tempo em cada intervalo de tempo.

No intervalo 0 < t ≤ a / v a barra se move no trecho em que os trilhos junto a barra formam um triangulo, já que t = a / v é o tempo que ela leva para completar esse percurso.

A barra sempre se move na direção x com uma velocidade v então sua posição varia com o tempo, logo x t = v ( t ) .

E enquanto ela está no trecho que os trilhos são inclinados o quanto que a barra está sobre esses trilhos vai aumentando com o tempo logo a posição na direção y também varia com o tempo, logo temos um y ( t ) .

Então podemos estabelecer uma relação entre o triangulo de altura a e base b , com o triangulo formado pela barra es os trilhos, da seguinte forma:

y t x t = b a

⇒ y t = b a x ( t )

Então no intervalo de tempo ( i ) temos que A ( t ) é dado por:

A t = 1 2 x t y ( t )

Que é a área do triangulo, usando o que sabemos, temos:

A t = 1 2 x t b a x ( t )

E que x t = v t , ficamos com:

A t = 1 2 v t b a v t

⇒ A t = b 2 a v 2 t 2

Passo 3

No intervalo t > a / v temos que a barra se encontra na parte retilínea do trilho.

Logo a área que ela forma com o trilho vai se dá pela soma da área do triangulo que não vai mais mudar com a de um retângulo que muda conforme a barra se move.

A área de um retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Nesse caso a altura não muda ela tem o valor constante de b .

Agora a base varia com o tempo, ela é dada pela posição x ( t ) menos a que corresponde a parte do triângulo, logo temos que:

A t = 1 2 a b + ( x t - a ) b

Usando que x t = v t , temos:

A t = 1 2 a b + ( v t - a ) b

= v t - a 2 b

Passo 4

Agora podemos encontrar o fluxo do campo para cada intervalo de tempo.

Primeiro para ( i ) , temos:

Φ B ( t ) = B A ( t )

⇒ Φ B ( t ) = B b 2 a v 2 t 2

Agora para ( i i ) , temos:

Φ B ( t ) = B A ( t )

⇒ Φ B ( t ) = B v t - a 2 b

Prontinho o item ( a ) está feito.

Passo 5

Vamos para o item ( b ) .

Primeiro para o intervalo de tempo ( i ) . Nesse intervalo temos:

Φ B ( t ) = B b 2 a v 2 t 2

Logo a força eletromotriz é dada por:

ε i n d t = - d Φ B d t

= - d d t B b 2 a v 2 t 2

⇒ ε i n d t = - B b a v 2 t

Agora para o intervalo ( i i ) , temos:

Φ B ( t ) = B v t - a 2 b

a força eletromotriz é dada por:

ε i n d t = - d Φ B d t

= - d d t B v t - a 2 b

⇒ ε i n d t = - b B v

Item ( b ) finalizado.

Passo 6

Agora vamos ver como fica os gráficos pedidos em ( c ) .

Primeiro para o módulo do fluxo que encontramos em ( a ) .

No intervalo ( i ) o fluxo tem o seguinte comportamento

Φ B ( t ) = B b 2 a v 2 t 2

E o no intervalo ( i i ) , temos:

Φ B ( t ) = B v t - a 2 b

Assim o gráfico fica da seguinte forma:

Agora o módulo da força eletromotriz que encontramos em ( b ) .

No intervalo ( i ) o fluxo tem o seguinte comportamento

ε i n d t = B b a v 2 t

E o no intervalo ( i i ) , temos:

ε i n d t = b B v

Assim o gráfico fica da seguinte forma:

Resposta

( a )

Para ( i ) , temos:

Φ B ( t ) = B b 2 a v 2 t 2

Para ( i i ) , temos:

Φ B ( t ) = B v t - a 2 b

( b )

Para ( i ) , temos:

ε i n d t = - B b a v 2 t

Para ( i i ) , temos:

ε i n d t = - b B v

( c )

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