Um bastão retilíneo, de comprimento a , massa m e resistência R , desliza, sem atrito, sobre um fio (rígido) condutor ideal (sem resistência), em forma de U . O sistema todo está completamente imerso em uma região de campo magnético constante (estacionário e uniforme), perpendicular ao plano que contém o sistema. Inicialmente, uma força externa é aplicada e o bastão move-se com uma velocidade constante v → 0 para a direita. A partir do instante t = 0 , essa força externa deixa de agir e o bastão passa a mover-se apenas sob a ação da força magnética, com velocidade v → t . Despreza a capacitância e a autoindutância do sistema, assim como a corrente de deslocamento.

  1. Qual é o módulo da força eletromotriz induzida no circuito (fio + bastão)?
  2. Qual é o módulo da (intensidade de) corrente elétrica que passa pelo bastão e o seu sentido?
  3. Qual é a força magnética (vetorial) sobre o bastão?
  4. Qual é a velocidade (vetorial) do bastão como função explícita do tempo, para t > 0 ?

Passo 1

A força eletromotriz pode ser calculada pela Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Precisamos calcular a taxa de variação do fluxo magnético. O fluxo é dado pela fórmula:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

O campo pode ser escrito, de acordo com o enunciado, pela expressão:

B → = B - z ^

Onde B é uma constante positiva. Arbitremos nossa área no sentido positivo de z ^ . Portanto o produto escalar fica:

B → ∙ d A → = - B d A

Substituindo da fórmula, puxamos a constante para fora:

ϕ B = - B ∬ S d A

Que resulta na área do retângulo de dimensões:

Portanto o fluxo é:

ϕ B = - B a x

Onde x é uma função do tempo, pois a barra se move.

Passo 2

Substituindo na Lei de Faraday:

E = - ∂ - B a x ∂ t

Puxando as constantes pra fora derivamos x com respeito ao tempo:

E = B a ∂ x ∂ t

Que é a conhecida expressão do módulo da velocidade:

E = B a v t

Passo 3

Em seguida, gostaríamos de calcular a intensidade da corrente. Como sabemos que o circuito tem resistência R , pela Lei de Ohm:

E = R I

B a v t = R I

Logo:

I = B a v t R

Como achamos um valor positivo e arbitramos o vetor área no sentido de z ^ , temos que, pela regra da mão direita, se colocarmos nosso polegar alinhado com z ^ o sentido da corrente é dado como anti-horário.

Passo 4

Seguindo, encontramos a força magnética no bastão considerando o movimento das cargas nele:

Desconsideramos a força proveniente do movimento v → t horizontal da barra pois isto resulta numa força pra cima que é dissipada pelos trilhos. O campo magnético tentaria puxar a barra para cima mas os trilhos a manteriam fixa.

Enfim... Viagens à parte, continuamos com a conta da força:

d F → = I   d l → × B →

Já descobrimos que o sentido desse produto vetorial é para a esquerda, logo:

d F → = I B d l   - x ^

Integrando na barra toda:

F → = - I B x ^ ∫ b a r r a   d l

F → = - I B a x ^

Até aqui já deve dar pra ter ganho 80% dos pontos (olhando o gabarito na real ganhava 100%, mas isso depende da banca), mas como somos bons meninos vamos substituindo a corrente:

F → = - B 2 a 2 v t R x ^

Encontrado!

Passo 5

Agora vamos lá... A velocidade em função do tempo. Como ele deu a massa m , tá na cara que ele quer que a gente use isto. Massa cai como uma luva nas leis de Newton. Aplicando:

F → = m a →

m a → = - B 2 a 2 v t R x ^

Como sabemos que a aceleração vai ser em O x também:

m a x ^ = - B 2 a 2 v t R x ^

Agora resolvemos a equação diferencial em v prestando atenção somente nas componentes: m v ' = - B 2 a 2 v R

Passo 6

Podemos resolver esta equação diferencial por separação de variáveis:

v ' v = - B 2 a 2 R m

Integrando ambos os lados com respeito ao tempo e substituindo v ' por d v / d t :

∫ d v v . d t . d t = ∫ d v v = ∫ - B 2 a 2 R m d t

ln ⁡ v = - B 2 a 2 t R m + C

v t = e - B 2 a 2 t R m + c

Arrumando:

v t = e c e - B 2 a 2 t R m

Passo 7

Sabemos também que no instante t = 0 temos que:

v 0 = v 0

Portanto:

v 0 = e c e - B 2 a 2 R m × 0

v 0 = e c e 0

v 0 = e c

e c = v 0

Segue que:

v t = v 0 e - B 2 a 2 t R m

Resposta

a)

E = B a v t

b)

I = B a v t R

Sentido anti-horário

c)

F → = - B 2 a 2 v t R x ^

d)

v t = v 0 e - B 2 a 2 t R m

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