Lei de Faraday
Um bastão retilíneo, de comprimento , massa e resistência , desliza, sem atrito, sobre um fio (rígido) condutor ideal (sem resistência), em forma de . O sistema todo está completamente imerso em uma região de campo magnético constante (estacionário e uniforme), perpendicular ao plano que contém o sistema. Inicialmente, uma força externa é aplicada e o bastão move-se com uma velocidade constante para a direita. A partir do instante , essa força externa deixa de agir e o bastão passa a mover-se apenas sob a ação da força magnética, com velocidade . Despreza a capacitância e a autoindutância do sistema, assim como a corrente de deslocamento.
- Qual é o módulo da força eletromotriz induzida no circuito (fio + bastão)?
- Qual é o módulo da (intensidade de) corrente elétrica que passa pelo bastão e o seu sentido?
- Qual é a força magnética (vetorial) sobre o bastão?
- Qual é a velocidade (vetorial) do bastão como função explícita do tempo, para ?
Passo 1
A força eletromotriz pode ser calculada pela Lei de Faraday:
Precisamos calcular a taxa de variação do fluxo magnético. O fluxo é dado pela fórmula:
O campo pode ser escrito, de acordo com o enunciado, pela expressão:
Onde é uma constante positiva. Arbitremos nossa área no sentido positivo de . Portanto o produto escalar fica:
Substituindo da fórmula, puxamos a constante para fora:
Que resulta na área do retângulo de dimensões:
Portanto o fluxo é:
Onde é uma função do tempo, pois a barra se move.
Passo 2
Substituindo na Lei de Faraday:
Puxando as constantes pra fora derivamos com respeito ao tempo:
Que é a conhecida expressão do módulo da velocidade:
Passo 3
Em seguida, gostaríamos de calcular a intensidade da corrente. Como sabemos que o circuito tem resistência , pela Lei de Ohm:
Logo:
Como achamos um valor positivo e arbitramos o vetor área no sentido de , temos que, pela regra da mão direita, se colocarmos nosso polegar alinhado com o sentido da corrente é dado como anti-horário.
Passo 4
Seguindo, encontramos a força magnética no bastão considerando o movimento das cargas nele:
Desconsideramos a força proveniente do movimento horizontal da barra pois isto resulta numa força pra cima que é dissipada pelos trilhos. O campo magnético tentaria puxar a barra para cima mas os trilhos a manteriam fixa.
Enfim... Viagens à parte, continuamos com a conta da força:
Já descobrimos que o sentido desse produto vetorial é para a esquerda, logo:
Integrando na barra toda:
Até aqui já deve dar pra ter ganho 80% dos pontos (olhando o gabarito na real ganhava 100%, mas isso depende da banca), mas como somos bons meninos vamos substituindo a corrente:
Encontrado!
Passo 5
Agora vamos lá... A velocidade em função do tempo. Como ele deu a massa , tá na cara que ele quer que a gente use isto. Massa cai como uma luva nas leis de Newton. Aplicando:
Como sabemos que a aceleração vai ser em também:
Agora resolvemos a equação diferencial em prestando atenção somente nas componentes:
Passo 6
Podemos resolver esta equação diferencial por separação de variáveis:
Integrando ambos os lados com respeito ao tempo e substituindo por :
Arrumando:
Passo 7
Sabemos também que no instante temos que:
Portanto:
Segue que:
Resposta
a)
b)
Sentido anti-horário
c)
d)