Um fio de massa m , comprimento l e resistência R pode deslizar sem atrito, apoiado em dois trilhos horizontais, condutores e de resistência desprezível. Eles são ligados na extremidade esquerda por uma peça condutora, de modo que o conjunto todo forme uma espira condutora retangular.

Na região dos trilhos existe um campo magnético vertical uniforme B → 0 e o fio de massa m é puxado para a direita por uma força de módulo constante F 0 .

a ) Calcule a f e m e a corrente induzida no fio, indicando seus sentidos;

b ) Calcule a força magnética que age sobre o fio, em função de sua velocidade;

c ) Calcule a velocidade terminal (para t → ∞ ) do fio;

d ) Quando o fio atinge essa velocidade, qual é a potência dissipada nele?

Passo 1

a ) Calcule a f e m e a corrente induzida no fio, indicando seus sentidos;

A f e m   induzida é calculada a partir da lei de Faraday, dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Então precisamos calcular primeiro o fluxo magnético através da espira, que é dado por:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Como o campo magnético é constante, com módulo igual a B 0 , podemos reescrever o fluxo magnético como:

ϕ B = B 0 A

Onde A = l x t , logo:

ϕ B = B 0 l x t

Substituindo ϕ B na expressão de ε , teremos:

ε = - ∂ ∂ t B 0 l x t

ε = - B 0 l ∂ x t ∂ t

Sabendo que a velocidade do fio é dada por v = ∂ x t / ∂ t , podemos dizer que:

ε = - B 0 l v

Assim, a f e m é dada por:

ε = B 0 l v

Passo 2

A corrente induzida é dada por:

I i n d = ε R

I i n d = B 0 l v R

O sentido da corrente é determinado pela lei de Lenz, que diz:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Resumindo, o que ela diz é o seguinte:

Se o fluxo magnético estiver aumentando na espira, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo.

Se o fluxo magnético estiver diminuindo na espira, o campo magnético induzido vai estar no mesmo sentido do campo magnético externo.

O fluxo magnético é dado por:

ϕ B = B 0 l x t

Logo:

∂ ϕ B ∂ t = B 0 l ∂ x t ∂ t = B 0 l v

∂ ϕ B ∂ t > 0

Assim, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo, ou seja, o campo magnético induzido estará entrando no plano da página.

Para que o campo magnético induzido tenha esse sentido, a corrente induzida deve estar no sentido horário.

Passo 3

b ) Calcule a força magnética que age sobre o fio, em função de sua velocidade;

A força magnética sobre um fio retilíneo é dada por:

F → B = I L → × B →

Onde o vetor L → tem a mesma direção e sentido da corrente no fio, logo:

L → = l - y ^

B → = B 0 z ^

I = I i n d = B 0 l v R

Substituindo esses caras na expressão de F → , teremos:

F → B = B 0 l v R l - y ^ × B 0 z ^

F → B = B 0 2 l 2 v R - y ^ × z ^

F → B = - B 0 2 l 2 v R x ^

Assim, o módulo da força magnética será:

F → B = B 0 2 l 2 v R

Passo 4

c ) Calcule a velocidade terminal (para t → ∞ ) do fio;

O fio está sendo puxado para a direita por uma força F 0 e, devido à variação do fluxo magnético na espira, aparece uma força F B na direção oposta.

O fio alcançará a velocidade terminal quando

F 0 = F B

Assim, a força resultante sobre o fio será nula e ele permanecerá se movendo com velocidade v t e r m constante.

F 0 = B 0 2 l 2 v t e r m R

v t e r m = F 0 R B 0 2 l 2

Passo 5

d ) Quando o fio atinge essa velocidade, qual é a potência dissipada nele?

A potência dissipada no fio será:

P o t = R I i n d 2

Substituindo a expressão de I i n d , teremos:

P o t = R B 0 l v t e r m R 2

Onde v t e r m nós acabamos de calcular:

P o t = R B 0 l R   F 0 R B 0 2 l 2 2

P o t = R   F 0 B 0 l 2

P o t = F 0 2 R B 0 2 l 2

Resposta

a )

ε = B 0 l v

I i n d = B 0 l v R

A corrente induzida está no sentido horário.

b )

F → B = B 0 2 l 2 v R

c )

v t e r m = F 0 R B 0 2 l 2

d )

P o t = F 0 2 R B 0 2 l 2

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