Uma espira quadrada de lado a e resistência R está sobre uma mesa, a uma distância y de um fio muito longo sobre o eixo x que transporta uma corrente I , conforme mostra a figura. O módulo do campo produzido pelo fio é B = μ 0 I / ( 2 π r ) , onde r é a distância até o fio.

  1. Calcule o fluxo do campo magnético, produzido pelo fio através da espira.
  2. A espira é movimentada na direção y , afastando-se do fio com velocidade v = d y / d t . Use a lei de Lenz para determinar o sentido da corrente induzida na espira (horário ou anti-horário), justificando sua resposta. Calcule a corrente induzida i .
  3. Determine o valor da corrente induzida se a espira é movimentada para a direita (direção x ) mantendo constante a distância y até o fio.

Passo 1

  1. Calcule o fluxo do campo magnético, produzido pelo fio através da espira.
  2. Vambora! O fluxo magnético é dado por:

    ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

    Onde d A → = d x ' d y '   z ^ . Então o primeiro trabalho aqui vai ser calcular o campo magnético gerado pelo fio, certo?

    (Ah! Coloquei d y ' ao invés de d y só pra diferenciar mesmo, porque a própria figura já usa um y , tá vendo?)

    Se bem que nem vai dar tanto trabalho, porque a Lei de Ampère diz que:

    ∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

    Nesse caso, vou considerar como curva uma circunferência de raio y ' cujo centro é o próprio fio. Logo:

    B 2 π y ' = μ 0 I

    B = μ 0 I 2 π y '

    Por fim, usando a regra da mão direita, vemos que o o campo magnético que passa pela espira é:

    B → = μ 0 I 2 π y ' k ^

    Agora sim podemos calcular o fluxo magnético.

    Passo 2

    ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

    Já sabemos que:

    B → = μ 0 I 2 π y ' k ^

    d A → = d x ' d y '   z ^

    Agora é correr pro abraço!

    ϕ B = μ 0 I 2 π ∫ 0 a ∫ y y + a d x ' d y ' y '

    ϕ B = μ 0 I 2 π ∫ 0 a d x ' ∫ y y + a d y ' y '  

    ϕ B = μ 0 I 2 π   x ' 0 a ln ⁡ y ' y y + a

    Por fim:

    ϕ B = μ 0 I a 2 π ln ⁡ y + a y

    Passo 3

  3. A espira é movimentada na direção y , afastando-se do fio com velocidade v = d y / d t . Use a lei de Lenz para determinar o sentido da corrente induzida na espira (horário ou anti-horário), justificando sua resposta. Calcule a corrente induzida i .
  4. A Lei de Lenz diz que:

    O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

    Mas basicamente o que nós precisamos interpretar disso é que:

    Se o fluxo do campo magnético está aumentando o campo induzido tenta atrapalhar ele (corrente no sentido horário). Se o fluxo está diminuindo o campo induzido tenta ajudar ele (corrente no sentido anti-horário).

    Ok! O problema está falando que a espira está se afastando do fio de corrente I .

    Como vimos antes, o campo elétrico gerado pelo fio é dado por:

    B → = μ 0 I 2 π y ' k ^

    Então, se o valor de y ' aumenta, significa que o campo magnético está diminuindo, certo?

    Se o campo magnético está diminuindo, o fluxo do campo magnético também está diminuindo. Isso significa que o campo induzido tenta ajudar ele.

    Logo, a corrente está no sentido anti-horário.

    Passo 4

    Pra calcular a corrente induzida, basta usar a Lei de Faraday... vamos usá-la pra calcular a fem induzida.

    E = - ∂ ϕ [ B ] ∂ t

    E = - ∂ ∂ t μ 0 I a 2 π ln ⁡ y + a y

    E = - μ 0 I a 2 π ∂ ∂ t ln ⁡ y + a y

    E = - μ 0 I a 2 π ∂ ∂ t ln ⁡ y + a - ln ⁡ y

    E = - μ 0 I a 2 π 1 y + a - 1 y d y d t  

    Lembrando que, segundo o enunciado, v = d y / d t .

    E = - μ 0 I a v 2 π y - y + a y y + a

    E = - μ 0 I a v 2 π - a y y + a

    E = μ 0 I a 2 v 2 π y y + a

    Passo 5

    Agora é só calcular a corrente:

    i = E R

    i = μ 0 I a 2 v 2 π y y + a R

    Passo 6

  5. Determine o valor da corrente induzida se a espira é movimentada para a direita (direção x ) mantendo constante a distância y até o fio.

Nós já tínhamos visto que o campo magnético é dado por:

B → = μ 0 I 2 π y ' k ^

Bom, ele não depende de x , certo? Isso significa que, se movermos a espira apenas na direção x , o campo magnético permanece constante... logo:

ϕ B = c o n s t a n t e

E = - ∂ ϕ B ∂ t = 0

i = E R = 0

Resposta

  1. ϕ B = μ 0 I a 2 π ln ⁡ y + a y

  2. i = μ 0 I a 2 v 2 π y y + a R

i = 0

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