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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

UFES, 2018.1, Lista 4, Q11c

11c) Seja f definida por f x =   x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3               s e     x ≠ - 3 ,   x ≠ - 1 0                                     s e   x =   - 3 - 1 2                             s e   x =   - 1

Dê os pontos onde f é descontínua. Justifique.

Passo 1

Fala gente, vamo continuar essa questão. Tamo quase lá!

Primeiro, relembrando que as funções polinomiais são todas contínuas. E uma função formada pela divisão de polinômios, será que também é contínua?

Simm, nos pontos onde a função é definida ela será contínua. Então a gente já sabe que nossa f x vai ser contínua pelo menos em R - { - 3 , - 1 } .

Passo 2

Vamos analisar também nos pontos x =   - 3 e x =   - 1 o que acontece com a função. Relembrando a definição matemática de continuidade:

lim x → p ⁡ f ( x ) = f ( p )

  1. x =   - 1 :
  • lim x → - 1 ⁡ x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3 = lim x → - 1 ⁡ x x + 1 2 x + 3 x + 1 2 = lim x → - 1 ⁡ x x + 3   =   - 1 2

Muito bom!! f é contínua também em x =   - 1 .

  • x =   - 3 :

    • lim x → - 3 ⁡ x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3 =   lim x → - 3 ⁡ x x + 3    

    Nesse caso não dá pra tirar a indeterminação do limite, porque ela vem justamente do termo ( x + 3 ) . E pior ainda, nem mesmo os limites laterais são iguais nesse caso. Por isso, com certeza a função é descontínua em x =   - 3 .

    Resposta

    f é descontínua em x =   - 3 .

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    Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
    Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
    Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
    Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
    Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )