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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

UFES, 2018.1, Lista 3, Q15a

15a) Para a função f definida por:

f x =   - 2 - x                                                   ,                                             x < 1 a x + b                                                           ,               1 ≤ x <   2           x 2 - 7 x + 12                             ,                                           x ≥ 2

Determine os valores de a e b para que f seja contínua em R

Passo 1

Eaí gente, tudo certinho?

Bom, para que f (uma função definida por partes) seja contínua é preciso que pelo menos cada uma das suas definições seja contínua em seus respectivos domínios.

Analisando a primeira função, no domínio dado, podemos perceber que:

2 - x ≥ 1 para todo x < 1 .

Sendo assim, - 2 - x   será contínua.

A segunda e terceira funções são polinômios, logo apresentam continuidade em todo x ∈ R .

Então muito bom, já concluímos que f é contínua individualmente em cada parte do seu domínio.

Passo 2

Agora pensa comigo, para f ser contínua nos reais, além de ser contínua em cada parte de sua definição (o que já mostramos no passo 1), precisa ser também na transição entre as definições. Ou seja, em x = 1 e x = 2 .

  1. f contínua em x = 1 ↔ lim x → 1 ⁡ - 2 - x = f 1 ⇒   - 1 = a + b
  2. f contínua em x = 2 ↔ lim x → 2 ⁡ a x + b = f 2 ⇒ 2 a + b = 2

Passo 3

Agora, caímos então em um sisteminha para encontrar a e b :

a + b =   - 1 2 a + b = 2     ⇒     a = 3 ∴ b = - 4

Resposta

a = 3 e b =   - 4

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )