Para cada uma das funções seguintes determine o(s) valor(es) de x para o(s) qual(quais) a função é descontínua. identifique o(s) tipo(s) de descontinuidade(s). Nos casos possíveis, encontra uma nova definição para a função de modo a remover qualquer (quaisquer) descontinuidade(s) removível (removíveis).

( c )   h ( x ) = e x + 4 x 3 e 4 x - 3

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos dá a seguinte função

h ( x ) = e x + 4 x 3 e 4 x - 3

e pede para encontrarmos valores de x para os quais tenhamos descontinuidades! Além disso, devemos identificar o tipo de descontinuidade, em geral, temos três tipos que irei apresentar. Primeiro, a descontinuidade removível, ela é tal que

i )   f ( a ) está definida (ou não) e é um número real;

i i )   l i m x → a + f ( x ) = l i m x → a - f ( x )

i i i )   f ( a ) ≠ l i m x → a f ( x )

essa descontinuidade é tal que a função é descontínua apenas no ponto P = ( a , f ( a ) ) , não temos um salto da função, apenas um ponto deslocado, ela pode ser removida se redefinimos a função, e teremos que fazer isso se elas aparecerem! Agora, temos a descontinuidade de salto que é tal que

i )   f ( a ) está definida (ou não) e é um número real;

i i )   l i m x → a + f ( x ) ≠ l i m x → a - f ( x )

ou seja, em um valor de x = a , a função salta, tendo um espaço vazio no eixo f ( x ) . E, por último, temos a descontinuidade essencial

i )   x = a é uma assíntota vertical;

i i ) l i m x → a + f ( x ) e l i m x → a - f ( x ) são infinitos.

Vamos verificar qual o tipo de desigualdade em nossa função! Bora lá!

Passo 2

Primeiro, temos que nossa função é definida como

h ( x ) = e x + 4 x 3 e 4 x - 3

Esse tipo de função em geral poderia apresentar descontinuidades essenciais (com assíntotas verticais) se houvessem valores de x no denominador da fração se anule, ou seja, quando

3   e 4 x - 3 = 0

podemos dividir tudo por 3 , e escrever

e 4 x - 1 = 0

Isolando a exponencial, temos que

e 4 x = 1

se aplicarmos o logaritmo neperiano em ambos os lados, obtemos

4 x = l n ( 1 )

como temos que l n ( 1 ) = 0 , obtemos simplesmente que

x = 0

Portanto, x = 0 pode ser uma descontinuidade essencial! Vamos verificar!

Passo 3

Vamos calcular os limites laterais da função, primeiro, temos que

l i m x → 0 + e x + 4 x 3   e 4 x - 3 = e 0 + 4 ( 0 ) 3   e 0 - 3 = 1 0

se estamos dividirmos por um número tão pequeno que tende a zero, a razão tende ao infinito, temos então que

l i m x → 0 + e x + 4 x 3   e 4 x - 3 = + ∞

Agora, precisamos apenas tomar um pequeno cuidado com o seguinte limite lateral

l i m x → 0 - e x + 4 x 3   e 4 x - 3

como estamos vindo pelo lado esquerdo de 0 , estamos tomando apenas valores de x negativos, então vamos fazer a mudança x = - | x | , de forma que temos o limite

l i m x → 0 - e - | x | - 4 | x | 3   e - 4 | x | - 3 = l i m x → 0 - - ( 4 | x | - e - | x | ) - ( 3 - 3 e 4 | x | ) = l i m x → 0 - 4 | x | - e - | x | 3 - 3 e 4 | x |

aplicando o limite, temos que

4 ( 0 ) - e 0 3 - 3 e 0 = - 1 0 = - ∞

Portanto, realmente temos uma descontinuidade essencial! Que não pode ser removida! O gráfico da função é tal que

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Existe uma descontinuidade essencial em x = 0 que não pode ser removida!

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )