Para cada uma das funções seguintes determine o(s) valor(es) de x para o(s) qual(quais) a função é descontínua. identifique o(s) tipo(s) de descontinuidade(s). Nos casos possíveis, encontra uma nova definição para a função de modo a remover qualquer (quaisquer) descontinuidade(s) removível (removíveis).

(b) f(x) = (x - 2) / ((x - 2)(x^2 + 2x + 10))

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos dá a seguinte função

f ( x ) = x - 2 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 10 )

e pede para encontrarmos valores de x para os quais tenhamos descontinuidades! Além disso, devemos identificar o tipo de descontinuidade, em geral, temos três tipos que irei apresentar. Primeiro, a descontinuidade removível, ela é tal que

i )   f ( a ) está definida (ou não) e é um número real;

i i )   l i m x → a + f ( x ) = l i m x → a - f ( x )

i i i )   f ( a ) ≠ l i m x → a f ( x )

essa descontinuidade é tal que a função é descontínua apenas no ponto P = ( a , f ( a ) ) , não temos um salto da função, apenas um ponto deslocado, ela pode ser removida se redefinimos a função, e teremos que fazer isso se elas aparecerem! Agora, temos a descontinuidade de salto que é tal que

i )   f ( a ) está definida (ou não) e é um número real;

i i )   l i m x → a + f ( x ) ≠ l i m x → a - f ( x )

ou seja, em um valor de x = a , a função salta, tendo um espaço vazio no eixo f ( x ) . E, por último, temos a descontinuidade essencial

i )   x = a é uma assíntota vertical;

i i ) l i m x → a + f ( x ) e l i m x → a - f ( x ) são infinitos.

Vamos verificar qual o tipo de desigualdade em nossa função! Bora lá!

Passo 2

Primeiro, temos que nossa função é definida como

f ( x ) = x - 2 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 10 ) = 1 x 2 + 2 x + 10

Esse tipo de função em geral poderia apresentar descontinuidades essenciais (com assíntotas verticais) se houvessem valores de x no denominador da fração em que o polinômio se anulasse, ou seja, nas raízes de

x 2 + 2 x + 10 = 0

usando Bhaskara, temos que

x ± = - ( 4 ) ± 4 - 4 ( 1 ) ( 10 ) 2 ( 1 ) = - 2 ± 3 i

Ou seja, não temos raízes reais. Portanto, nenhuma descontinuidade essencial! Também temos uma razão de polinômios, portanto, não existem descontinuidades de salto, ou removíveis! O gráfico da função é tal que

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Não há descontinuidades!

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