2. Calcule o valor de , com e considere a função
Determine os valores de e para que seja continua em .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos forneceu uma função que possui diferentes comportamentos para , no ponto , e em . Então repara que o ponto é o nosso problema, pois ali que a função muda de comportamento.
Deste modo, para que essa função seja continua temos que achar e , que faça com que todas as funções tenham o mesmo valor quando .
Em outras palavras, para que a função seja continua temos que verificar quando
Então vamos calcular esses limites!
Passo 2
Vamos começar substituindo na função para calcular o primeiro limite,
Repara que caímos em uma indeterminação do tipo . Vamos sair dessa indeterminação multiplicano pelo seu conjugado,
E para que essa função seja continua, temos que esse limite deve ser ,
Repara que podemos cortar o termo
Podemos escrever nosso limite assim,
Calculando nosso limite, ficamos com
Logo,
Agora vamos para o próximo limite!
Passo 3
Vamos para o segundo limite! Repara que também caímos em uma indeterminação
Para determinar esse limite, vamos utilizar o limite fundamental trigonométrico. Que diz o seguinte:
Para aplicar esse limite fundamental trigonométrico, vamos fazer uma mudança de variável chamando
Alterando o limite temos que se
Logo o nosso limite fica assim
Repara que para aplicar o limite fundamental trigonométrico, vamos ter que multiplicar por em cima e embaixo,
Voltando ao nosso limite original ficamos com
E para que essa função seja continua, temos que esse limite deve ser . Logo,
Passo 4
Juntando as relações que encontramos para e , nos passos anteriores, ficamos com
Logo, podemos dizer que
Com isso temos que
Agora podemos calcular