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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

2. Calcule o valor de α ∈ R para que a função f seja contínua em x = 0 , onde

f x = tan ⁡ x - sin ⁡ x x 5 + 4 x 3 ,   s e   x ≠ 0 α   ,   s e   x = 0

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos forneceu uma função que éum determinado comportamento para x ≠ 0 e no ponto x = 0 , ela será igual a α . Então repara que o ponto x = 0 é o nosso problema, pois ali que a função terá um outro comportamento.

Deste modo, para que essa função seja continua temos que achar um α , que tenha o mesmo valor para quando a função tan ⁡ x - sin ⁡ x x 5 + 4 x 3 seja zero.

Em outras palavras, para que a função seja continua temos que verificar quando

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x x 5 + 4 x 3 = α

Então vamos calcular esse limite!

Passo 2

Vamos começar substituindo zero na função para calcular esse limite,

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x x 5 + 4 x 3 = 0 0

Repara que caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 .

Agora vamos sair dessa indeterminação!

Passo 3

Galera, quando tiver uma indeterminação deste tipo, vamos ter que dar uma mexida nessa função.

Vamos começar separando a parte que é trigonométrica da parte algébrica,

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x x 5 + 4 x 3 = lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x 1 x 5 + 4 x 3

Agora vamos deixar a parte trigonométrica em função de seno e cosseno, somente. Para isso, lembra que tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x x 5 + 4 x 3 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x 1 x 5 + 4 x 3

= lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x - sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x 1 x 5 + 4 x 3

Repara que podemos colocar o seno em evidencia,

= lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x cos ⁡ x 1 x 5 + 4 x 3

Agora vamos usar a seguinte relação,

1 - cos 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Logo,

1 - cos ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Substituindo na equação ficamos com

= lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 x 5 + 4 x 3

Agora vamos usar a seguinte identidade trigonométrica,

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Substituindo ficamos com,

= lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ x sin 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 x 5 + 4 x 3

“Separando” os senos dos cossenos,

= lim x → 0 ⁡ sin 3 ⁡ x 1 cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 x 5 + 4 x 3

Pronto! Ajeitamos a nossa parte trigonométrica, mas continuamos com o problema que de zerar embaixo na parte algébrica.

Então vamos mexer ali!

Passo 4

Se você ta ligado, já reparou que poderemos mexer na função e aplicar o limite fundamental trigonométrico mais a frente.

Mas fica tranquilo que vamos mexer no polimonio agora e ver o que sai!

Vamos colocar o x 3 em evidencia, pois ele é o de menor grau

lim x → 0 ⁡ sin 3 ⁡ x 1 cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 x 3 ( x 2 + 4 )

Agora vamos relembrar como é o limite fundamental trigonométrico! Ele diz isso aqui

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Repara agora que podemos escrever nosso limite assim,

lim x → 0 ⁡ sin 3 ⁡ x x 3 1 cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 ( x 2 + 4 )

Repara que o primeiro termo é a cara do limite fundamental trigonométrico, só que ao cubo.

Partiu calcular!

Passo 5

Agora que temos que

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x x 5 + 4 x 3 = lim x → 0 ⁡ sin 3 ⁡ x x 3 1 cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 ( x 2 + 4 )

Vamos calcular esse limite substituindo por zero. Lembrando que o primeiro termo será igual 1 pelo limite fundamental trigonométrico. Fica assim

lim x → 0 ⁡ sin 3 ⁡ x x 3 1 cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 ( x 2 + 4 ) = 1   1 cos ⁡ 0 1 + cos ⁡ 0 1 0 2 + 4

Calculando

= 1 1 2 1 4 = 1 8

Logo,

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x x 5 + 4 x 3 = 1 8

Agora lembra que fizemos tudo isso para achar α ,

α = 1 8

Resposta

1 8

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )