Dê condições suficientes e necessárias sobre α e β para que a função

f x =   α x - β   ,     x ≤ 1 , 3 x   ,     1 < x < 2 , β x 2 - α   ,     x ≥ 2

seja contínua.

Passo 1

Faaaaaaala pessoal, tudo certinho com vocês?

Nessa questão recebemos uma função f ( x ) que é definida por partes da seguinte forma:

f x =   α x - β   ,     x ≤ 1 , 3 x   ,     1 < x < 2 , β x 2 - α   ,     x ≥ 2

Se olharmos direitinho essa expressão, veremos que ela depende dos parâmetros α e β .

O objetivo do enunciado é que consigamos dar condições para α e β de modo que f seja contínua.

Mas, lembram a condição de continuidade?

Pra uma função ser contínua em um ponto x 0 , precisamos que:

lim x → x 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → x 0 + ⁡ f ( x ) = f ( x 0 )

Então, vamos colocar essas condições nos pontos em que há mudança na lei de formação da função, pra garantir que ela é contínua em todo o domínio, beleza?

Vem com a gente 😊

Passo 2

Pra começar, vamos analisar a continuidade em x = 1 .

Quando x → 1 - , ou seja, tende a 1 por valores menores do que 1 , temos que:

f x = α x - β

E, quanto tende por valores maiores temos:

f x = 3 x

Assim:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ α x - β

= α - β

Já no caso de x → 1 + , temos:

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ 3 x

= 3

Logo, como para haver continuidade precisamos que os limites à esquerda e à direita do ponto sejam iguais, devemos ter:

α - β = 3

Perfeito!

Vamos agora analisar x = 2 .

Quando x → 2 - , temos:

f x = 3 x

Assim:

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ 3 x

= 6

Já quando x → 2 + , temos:

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ β x 2 - α

= 4 β - α

Logo, igualando os limites à esquerda e à direita de 2 , vem que:

4 β - α = 6

Excelente!

Passo 3

Conseguimos chegar num sistema com duas equações e duas incógnitas:

α - β = 3 4 β - α = 6

Somando as duas equações, vem:

3 β = 9

∴ β = 3

Logo:

α = 6

É isso gente, encontramos os valores de α e β que tornam a função contínua 😊

Obrigado pela atenção e até a próxima!!

Resposta

α = 6

β = 3

Exercícios de Livros Relacionados