UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 6.11
Dê condições suficientes e necessárias sobre e para que a função
seja contínua.
Passo 1
Faaaaaaala pessoal, tudo certinho com vocês?
Nessa questão recebemos uma função que é definida por partes da seguinte forma:
Se olharmos direitinho essa expressão, veremos que ela depende dos parâmetros e .
O objetivo do enunciado é que consigamos dar condições para e de modo que seja contínua.
Mas, lembram a condição de continuidade?
Pra uma função ser contínua em um ponto , precisamos que:
Então, vamos colocar essas condições nos pontos em que há mudança na lei de formação da função, pra garantir que ela é contínua em todo o domínio, beleza?
Vem com a gente 😊
Passo 2
Pra começar, vamos analisar a continuidade em .
Quando , ou seja, tende a por valores menores do que , temos que:
E, quanto tende por valores maiores temos:
Assim:
Já no caso de , temos:
Logo, como para haver continuidade precisamos que os limites à esquerda e à direita do ponto sejam iguais, devemos ter:
Perfeito!
Vamos agora analisar .
Quando , temos:
Assim:
Já quando , temos:
Logo, igualando os limites à esquerda e à direita de , vem que:
Excelente!
Passo 3
Conseguimos chegar num sistema com duas equações e duas incógnitas:
Somando as duas equações, vem:
Logo:
É isso gente, encontramos os valores de e que tornam a função contínua 😊
Obrigado pela atenção e até a próxima!!