P-REC – Cálculo 1 – USP – 2022 – Questão 1
Considere a função dada por
a) Mostre que é contínua em .
b) Decida se é derivável em . Em caso afirmativo, calcule .
c) Esboce, no sistema de coordenadas abaixo, o gráfico de , determinando os intervalos de crescimento, concavidade e limites necessários.
Passo 1
Fala galerinha... bora matar essa questão?
Primeiramente, queremos mostra que é contínua em .
Para isso, é preciso que o , ou seja, que o limite dessa função com tendendo a zero seja igual a função nesse ponto.
Pelo o que foi dado, a função quando , vale zero, portanto.
Beleza, mas e o limite dessa função?
Bom, nas proximidades de , a função se comporta como
Portanto, devemos calcular o limite considerando esse comportamento...
Com a função é uma função contínua, eu posso colocar esse limite lá na exponencial...
Perfeito... mas como vai funcionar esse limite?
Esse é um caso onde meu denominador vai para zero, portanto o limite vai para infinito. E como o denominador é elevado ao quadrado, ele é sempre positivo, portanto,
Dessa forma, vamos ter:
E a função quando tende a vai para zero, portanto:
Que é igual ao valor da função no ponto, dessa forma, provamos que a função é contínua em .
Passo 2
Bom, para encontrar essa derivada, podemos calcular pela definição...
Nas proximidades de , a função se comporta como , portanto...
E resolvendo esse limite, chegamos na indeterminação:
Portanto, podemos aplicar L’hospital e derivar em cima e embaixo.
Em cima teremos uma regra da cadeia
E embaixo teremos a derivada de que é igual a , portanto:
Substituindo nesse limite, teremos:
Que é novamente uma indeterminação... vamos precisar seguir por outro caminho pelo visto.
O que vou fazer aqui vai ser trocar , dessa forma terei:
Agora o limite vai para , pois quando , como , teremos que
Ao substituir esse limite, vemos que teremos indeterminações do tipo
Portanto, podemos aplicar L’hospital aqui.
E agora sim, substituindo o limite, teremos:
Portanto, a derivada dessa função em existe e vale .
Passo 3
Bom, inicialmente vamos encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função, analisando a primeira derivada dela.
Aqui eu vou calcular esses valores para a função , pois para , nós já avaliamos tudo que tínhamos para avaliar.
Bom, o termo é sempre positivo, pois a função exponencial sempre retorna um valor positivo.
Já o termo que é positivo quando e negativo quando , portanto.
é positiva para e negativa para .
Agora, para avaliar a concavidade, vamos analisar a segunda derivada.
E precisamos tomar cuidado aqui, pois teremos uma regra do produto.
Podemos aqui colocar em evidência, e assim realizar a soma de frações.
Nessa segunda derivada temos que é sempre positivo, pois é um potência par de . Assim como a função , também será sempre positiva.
Portanto, o sinal dessa função será o mesmo sinal que .
Vemos que essa função será positiva quando:
Multiplico por e inverto a desigualdade
Portanto, a concavidade é para cima quando for menor que e maior que .
Nos demais pontos, a concavidade é para baixo.
E é o ponto de inflexão.
Resposta
a) e b) Resolução nos Passos.
c) Crescimento
Decrescimento
Côncava para cima:
Côncava para baixo: e
Ponto de Inflexão: e