UTFPR– Cálculo 1 – Lista de Continuidade – Questão 4
Considere a função
Responda:
- Existe ?
- Existe ?
- ?
- é contínua em ?
- Existe ?
- Existe ?
- ?
- é contínua em ?
Passo 1
E aí, tudo bem? O problema deu uma função definida por partes
E fez uma série de perguntas acerca dos limites, se existe valor da função no ponto, e principalmente sobre continuidade. Você lembra de os critérios para uma função ser contínua?
São esses três:
- Os limites laterais devem existir (não ser ) e serem iguais
- Deve existir a função aplicada no ponto
-
( 1 ) e devem ser iguais!
Então a ideia é usar esse conceito de continuidade para ir resolvendo, item a item, o que é pedido!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Letra (a): Existe ?
Vamos analisar a função com pouco mais de carinho:
Vemos que em a função assume a cara daquela parábola
Assim existe sim , e mais
Vale zero! Beleza?
Passo 3
Letra (b): Existe ?
Para decidir se existe limite, vamos analisar o limite de quando por valores maiores do que , ou seja, quando a função ainda tem a mesma cara!
Como a função é a mesma, é bem compreensível que o limite exista
E também que assuma o mesmo valor!
Tudo bem até aqui?
Passo 4
Letra (c): ?
E com base nos dois passos anteriores, vemos que tanto o valor de quanto o limite lateral
Tem o mesmo valor! Sendo assim, a resposta é: sim!
Passo 5
Letra (d): é contínua em
Vamos relembrar os critérios de continuidade?
- Os limites laterais devem existir (não ser ) e serem iguais
- Deve existir a função aplicada no ponto
- E os resultados de e devem ser iguais!
Como a função não está definida à esquerda de , não precisamos avaliar o limite lateral pela esquerda. Sendo assim a função no ponto e o limite pela direita já garantem a continuidade da função!
Beleza? Bora avaliar o segundo ponto?
Passo 6
Letra (e): Existe ?
Vamos lembrar da cara da nossa função
Em a função assume um valor fixo de
Tranquilo?
Passo 7
Letra (f): Existe ?
Agora o problema pergunta se existe o limite: para existir o limite basta que os limites laterais existam e sejam iguais entre si! Então é isso: bora calcular os limites laterais!
Começando pela esquerda: lembrando que para valores menores do que a função assume a cara de :
Tudo bem? Agora pela direita! Pela direita ela assume a cara da reta :
Oba! Os limites laterais existem e valem o mesmo número! Isso significa que o limite existe e vale
Beleza?
Passo 8
Letra (g): ?
Agora o problema pergunta se os valores da função no ponto e do limite são iguais. Vamos relembrar dos resultados?
Do passo 6:
Do passo 7:
Portanto os valores não são iguais
Passo 9
Letra (h): é contínua em ?
Para que uma função seja contínua, o limite no ponto deve existir, a função no ponto também, e além disso, os dois valores devem ser iguais entre si! Mas vimos no passo anterior que para isso não acontece
Como são valores distintos, concluímos que a função não é contínua em !
E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?