Considere a função

f x = e x + 1 ,                                                 x ≤ - 1 x 2 ,                                     - 1 < x < 1 1 + ln ⁡ x ,                                     x ≥ 1

( a ) Determine os pontos de continuidade de f

Passo 1

Ele quer saber todos os pontos onde f é contínua, o intervalo total onde f é contínuo. Bom, sabendo e x + 1 é contínua para todo x ≤ - 1 , x 2 é contínua em - 1 < x < 1 e 1 + ln ⁡ ( x ) é contínua em x ≥ 1 , concluímos que o problema todo vai residir em analisar a igualdade dos pontos onde a função muda de lei de formação, ou seja, x = 1 e x = - 1 .

Passo 2

Vamos analisar a continuidade de f ( x ) em x = - 1 analisando seus limites laterais:

lim x → - 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → - 1 + ⁡ f ( x )

lim x → - 1 - ⁡ e x + 1 = lim x → - 1 + ⁡ x 2

e - 1 + 1 = - 1 2

e 0 = 1

1 = 1

f é contínua em x = - 1 !

Passo 3

Vamos analisar a continuidade de f ( x ) em x = 1 analisando seus limites laterais:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ f ( x )

lim x → 1 - ⁡ x 2 = lim x → 1 + ⁡ 1 + ln ⁡ ( x )

1 2 = 1 + ln ⁡ ( 1 )

1 = 1 + 0

1 = 1

f é contínua em x = 1 também!

Conclusão, f será contínua para todo x   ∈   R .

Resposta

f   s e r á   c o n t í n u a   p a r a   t o d o   x   ∈   R

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )