Considere a função f(x) = x|x|. Decida se f é derivável em x₀ = 0 e calcule f′(0) em caso afirmativo.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar se f é derivável em x 0 = 0 e calcular f′(0) em caso afirmativo. Para verificar isso vamos calcular as derivadas laterais, para ver se existem e são iguais.

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular as derivadas laterais, então começando por f ' ( 0 - ) :

f ' ( 0 - ) = l i m x → 0 - f ( x ) - f ( 0 ) x = l i m x → 0 - x | x | - 0 x = l i m x → 0 - | x | = 0 .

Passo 3

Agora, f ' ( 0 + ) :

f ' ( 0 + ) = l i m x → 0 + f ( x ) - f ( 0 ) x = l i m x → 0 + x | x | - 0 x = l i m x → 0 + | x | = 0 .

Passo 4

Assim, temos que as derivadas laterais existem e são iguais, então podemos afirmar que a função f ( x ) = x | x | é derivável em x 0 = 0 e

f ' ( 0 ) = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ' ( 0 ) = 0 .

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