Considere as funções abaixo e determine se são contínuas para o valor de x dado.

f(x) = (x + 2) / (x + 1) para x = 1

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para que a nossa função seja contínua, ela precisa respeitar 2 regras importantes.

A primeira diz que para a função ser contínua, os limites laterais da função no ponto dado, tem que ser iguais:

I lim x → a - ⁡ f ( x ) = lim x → a + ⁡ f ( x )

A segunda diz que para a função ser contínua, o limite da função no ponto que foi dado tem quer igual ao valor da função no ponto.

I I lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Show, agora vamos verificar se a nossa função respeita essas regras no ponto dado.

Passo 2

Começando pela primeira regra:

f x = x + 2 x + 1                       p a r a   x = 1

lim x → 1 - ⁡ x + 2 x + 1 = lim x → 1 - ⁡ 1 - + 2 1 - + 1 = 3 2

lim x → 1 + ⁡ x + 2 x + 1 = lim x → 1 - ⁡ 1 + + 2 1 + + 1 = 3 2

Ou seja, os limites laterais são iguais, então a primeira regra foi respeitada. Mas calma, ainda precisamos conferir a segunda.

Passo 3

Show, agora vamos para a segunda regra:

f x = x + 2 x + 1                       p a r a   x = 1

lim x → 1 ⁡ x + 2 x + 1 = 3 2

Calculando f 1 :

f 1 = 1 + 2 1 + 1 = 3 2

A função no ponto é igual ao limite da função tendendo ao ponto dado. Logo, a função é contínua.

Resposta

É   c o n t í n u a .

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