USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP – Lista 1, Questão 3.29
Considere as seguintes afirmações:
Se é limitada e , então .
Se é uma função tal que então, é derivável.
Se é descontínua em e limitada então, é derivável em .
São corretas
a. nenhuma das afirmações;
b. todas as afirmações;
c. somente as afirmações e ;
d. somente as afirmações e ;
e. somente as afirmações e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu algumas afirmações envolvendo os conceitos de limites, funções limitadas e diferenciabilidade. Então, vamos analisar cada uma dessas afirmações e verificar quais delas estão corretas.
Vamos lá!
Passo 2
Na primeira afirmação, ele nos diz que “Se é limitada e , então ”. Será que isso é verdade?
Bom, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado. No nosso caso, é uma função limitada. E nós temos a função que cresce ilimitadamente quando tende a infinito. Mas como é limitada, ela não cresce ilimitadamente e, portanto, não tente para infinito. Dessa forma, a afirmativa é falsa.
Passo 3
A afirmativa nos diz que “se é uma função tal que então, é derivável”. Vamos ver se é verdade.
A gente pode passar dividindo do outro lado:
E colocar tudo no mesmo módulo:
Agora, se a gente aplicar o limite dos dois lados:
Quando tende a do lado direito, o limite tende a zero. E quando tende a do lado esquerdo, temos a definição de derivada de . Então, podemos dizer que é uma função derivável.
A terceira afirmativa nos diz que “Se é descontínua em e limitada então, é derivável em ”. Apesar de ser descontínua no ponto , a função , que é contínua em todo domínio e limitada, redefine a função , de modo que o produto entre elas seja derivável. Portanto, a afirmativa também é verdadeira.
Assim, nosso gabarito é a letra , somente as afirmações e são verdadeiras.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
somente as afirmações e