Considere as seguintes afirmações:

I . Se g é limitada e lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞ , então lim x → + ∞ ⁡ g x f ( x ) = + ∞ .

I I . Se f : R → R é uma função tal que f x - f ( y ) ≤ x - y 2 então, f é derivável.

I I I . Se g : R → R é descontínua em x 0 e limitada então, f x = x g x sin ⁡ ( x ) é derivável em x 0 = 0 .

São corretas

a. nenhuma das afirmações;

b. todas as afirmações;

c. somente as afirmações I e I I ;

d. somente as afirmações I e I I I ;

e. somente as afirmações I I e I I I .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu algumas afirmações envolvendo os conceitos de limites, funções limitadas e diferenciabilidade. Então, vamos analisar cada uma dessas afirmações e verificar quais delas estão corretas.

Vamos lá!

Passo 2

Na primeira afirmação, ele nos diz que “Se g é limitada e lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞ , então lim x → + ∞ ⁡ g x f ( x ) = + ∞ ”. Será que isso é verdade?

Bom, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado. No nosso caso, g é uma função limitada. E nós temos a função f que cresce ilimitadamente quando x tende a infinito. Mas como g é limitada, ela não cresce ilimitadamente e, portanto, não tente para infinito. Dessa forma, a afirmativa é falsa.

Passo 3

A afirmativa I I nos diz que “se f : R → R é uma função tal que f x - f ( y ) ≤ x - y 2 então, f é derivável”. Vamos ver se é verdade.

f x - f ( y ) ≤ x - y 2

A gente pode passar x - y dividindo do outro lado:

f x - f y x - y ≤ x - y

E colocar tudo no mesmo módulo:

f x - f y x - y ≤ x - y

Agora, se a gente aplicar o limite dos dois lados:

lim x → y ⁡ f x - f y x - y ≤ lim x → y ⁡ x - y

Quando x tende a y do lado direito, o limite tende a zero. E quando x tende a y do lado esquerdo, temos a definição de derivada de f . Então, podemos dizer que f é uma função derivável.

A terceira afirmativa nos diz que “Se g : R → R é descontínua em x 0 e limitada então, f x = x g x sin ⁡ ( x ) é derivável em x 0 = 0 ”. Apesar de g ser descontínua no ponto x 0 , a função x sin ⁡ x , que é contínua em todo domínio e limitada, redefine a função g , de modo que o produto entre elas seja derivável. Portanto, a afirmativa também é verdadeira.

Assim, nosso gabarito é a letra ( e ) , somente as afirmações I I e I I I são verdadeiras.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

somente as afirmações I I e I I I

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )