UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 5, Questão 11a
Considere
Verifique se é contínua em .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se a seguinte função
É contínua em .
Para verificarmos isso, devemos calcular os limites laterais para os valores de que vêm a esquerda e a direita de .
Caso os dois limites deem o mesmo valor, então o limite existe e a função é derivável nesse ponto.
Além disso a função também deve obedecer a seguinte regra:
E aí? Bora lá??!!
😉
Passo 2
Assim, vamos ver direitinho primeiro o limite lateral para (pela direita).
Para os números que vêm pela direita de ,ou seja, , temos:
Pelo Teorema do Confronto, temos:
Substituindo e no limite, vemos:
Portanto, podemos concluir que:
Passo 3
Agora, vamos ver direitinho primeiro o limite lateral para (pela esquerda).
Para os números que vêm pela esquerda de ,ou seja, , temos:
Pelo Teorema do Confronto, temos:
Substituindo e no limite, vemos:
Portanto, podemos concluir que:
Assim, como os limites laterais resultaram em valores iguais, o limite existe em .
Passo 4
Agora, vamos testar se:
Pelo que nos foi informado na questão, temos que para :
Como vimos nos Passos anteriores que o limite existe e é igual a , então podemos concluir que a função é contínua em .
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
A função é contínua e derivável em .