Considere

f x = x sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Verifique se f é derivável em 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se a seguinte função

f x = x sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

É derivável em 0 .

Para verificarmos isso, vamos aplicar a regra do produto.

Sejam duas funções f e g , temos que a derivada do seu produto é dada por:

f g ' = f g ' + f ' g

Agora vamos aplicar!!

😉

Passo 2

Assim, aplicando a regra do produto, temos:

x sin ⁡ 1 x ' = x * sin ⁡ 1 x ' + x ' * sin ⁡ 1 x ∴

x sin ⁡ 1 x ' = x * - cos ⁡ 1 x x 2 + 1 * sin ⁡ 1 x ∴

f ' x = x sin ⁡ 1 x ' = - cos ⁡ 1 x x + sin ⁡ 1 x

Perceba que se fizermos x = 0 , teremos:

f ' 0 = - cos ⁡ 1 0 0 + sin ⁡ 1 0

Viu esse tanto de indeterminação (divisão por zero)?

Então... com isso a gente pode concluir que a derivada não existe em zero.

Por outro lado, como a questão especifica que, para x = 0 , f x = 0 .

Se derivarmos isso, teremos f ' x = 0 . Nesse caso, a derivada existe.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A derivada não existe.

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