Considere

f x = x sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Verifique se f é derivável em 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se a seguinte função

f x = x sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

É derivável em 0 .

Para verificarmos isso, vamos aplicar a regra do produto.

Sejam duas funções f e g , temos que a derivada do seu produto é dada por:

f g ' = f g ' + f ' g

Agora vamos aplicar!!

😉

Passo 2

Assim, aplicando a regra do produto, temos:

x sin ⁡ 1 x ' = x * sin ⁡ 1 x ' + x ' * sin ⁡ 1 x ∴

x sin ⁡ 1 x ' = x * - cos ⁡ 1 x x 2 + 1 * sin ⁡ 1 x ∴

f ' x = x sin ⁡ 1 x ' = - cos ⁡ 1 x x + sin ⁡ 1 x

Perceba que se fizermos x = 0 , teremos:

f ' 0 = - cos ⁡ 1 0 0 + sin ⁡ 1 0

Viu esse tanto de indeterminação (divisão por zero)?

Então... com isso a gente pode concluir que a derivada não existe em zero.

Por outro lado, como a questão especifica que, para x = 0 , f x = 0 .

Se derivarmos isso, teremos f ' x = 0 . Nesse caso, a derivada existe.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A derivada não existe.

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )