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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 2.7

Construa uma função f : R → R que é contínua somente em dois pontos.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que construir uma função f : R → R que é contínua somente em dois pontos. Vamos tentar usar a delta de Dirac nessa construção.

Então vamos lá!

Passo 2

Olhando para definição da delta de Dirac , temos

δ ( x ) = { 1 ,   s e     x = 0 ;   0 ,   s e   x ≠ 0 .

Então,

δ ( x 2 - 1 ) = { 1 ,   s e     x = ± 1 ;   0 ,   s e   x ≠ ± 1 .

Vamos tentar usar essa definição para construir uma função contínua em dois pontos.

Passo 3

Então, temos que a função:

f ( x ) = 1 δ ( x 2 - 1 ) = { 1 ,   s e     x = ± 1 ;   ∞ ,   s e   x ≠ ± 1 .

Note que os limites laterais existem e são iguais:

l i m x → ± 1 + f ( x ) = l i m x → ± 1 - f ( x ) = 1 .

Temos que essa função é contínua em apenas nos pontos   x = ± 1 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) = 1 δ ( x 2 - 1 ) .

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )