Construa uma função f : R → R que é contínua somente em dois pontos.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que construir uma função f : R → R que é contínua somente em dois pontos. Vamos tentar usar a delta de Dirac nessa construção.

Então vamos lá!

Passo 2

Olhando para definição da delta de Dirac , temos

δ ( x ) = { 1 ,   s e     x = 0 ;   0 ,   s e   x ≠ 0 .

Então,

δ ( x 2 - 1 ) = { 1 ,   s e     x = ± 1 ;   0 ,   s e   x ≠ ± 1 .

Vamos tentar usar essa definição para construir uma função contínua em dois pontos.

Passo 3

Então, temos que a função:

f ( x ) = 1 δ ( x 2 - 1 ) = { 1 ,   s e     x = ± 1 ;   ∞ ,   s e   x ≠ ± 1 .

Note que os limites laterais existem e são iguais:

l i m x → ± 1 + f ( x ) = l i m x → ± 1 - f ( x ) = 1 .

Temos que essa função é contínua em apenas nos pontos   x = ± 1 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) = 1 δ ( x 2 - 1 ) .

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