Construa uma função f : R → R que é contínua em um único ponto.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que construir uma função f : R → R que é contínua em um único ponto. Vamos tentar usar a delta de Dirac nessa construção.

Então vamos lá!

Passo 2

Olhando para definição da delta de Dirac , temos

δ ( x ) = { 1 ,   s e     x = 0 ;   0 ,   s e   x ≠ 0 .

Vamos tentar usar a delta de Dirac para construir uma função contínua em um único ponto.

Passo 3

Então, temos que a função:

f ( x ) = 1 δ ( x ) = { 1 ,   s e     x = 0 ;   ∞ ,   s e   x ≠ 0 .

Note que os limites laterais existem e são iguais:

l i m x → 0 + f ( x ) = l i m x → 0 - f ( x ) = 1 .

Temos que essa função é contínua em apenas em   x = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) = 1 δ ( x ) .

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