UFSC, Joinvile, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2016.2, Questão 1a
Dada ; e
- Determine se f é contínua na origem.
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado da questão nos pede para determinar se a função f(x,y) de duas variáveis, definida pela expressão
Para todos os pontos do plano (exceto na origem, onde ela é nula) é contínua. Bem, do cálculo de uma variável, a gente sabe que, para que uma função seja contínua em um ponto , o seu limite conforme a variável se aproxima de deve ser igual ao valor da função em . Podemos generalizar essa ideia para uma função de duas variáveis e verificar se isso acontece para a nossa f(x,y) na origem, onde, por construção, a função é nula.
Então, na realidade, tudo que a questão quer saber é qual é o limite de quando nos aproximamos da origem e se ele é igual ao valor da função nesse ponto. Então vamos lá calcular o limite!
Passo 2
Mas como a gente calcula o limite de uma função de duas variáveis, exatamente? Para o caso de uma única variável, parece mais simples, pois existe um número finito de maneiras de abordar um ponto no caso unidimensional: ou você aborda o ponto de interesse pela esquerda ou pela direita. Mas como a gente faz isso quando podemos nos aproximar de um ponto no plano de infinitas maneiras?
Para que o limite exista, ele deve ser o mesmo para qualquer trajetória escolhida. Então vamos tentar algumas curvas e ver se o limite existe para elas! Vamos começar com retas . Se nos aproximamos da origem por retas, podemos reescrever a função f(x,y) como
Bem, então no limite em que x vai a zero, se percorrermos pela reta, temos que a função tende a zero. Poderíamos também, nos aproximar da origem por uma parábola e obteríamos o mesmo resultado
Novamente, no limite em que nos aproximamos da origem, temos que f(x,y) tende a zero. No entanto, provar que o limite existe para alguns caminhos e que ele é igual ao valor definido da função na origem não prova que ela é contínua nesse ponto, apesar de ser bastante sugestivo.
Passo 3
Para verificar que a função de fato tende a zero, precisamos que exista um , tal que para qualquer ponto da origem a uma distância menor que , o valor da função f(x,y) menos seu valor na origem seja menor que . Podemos escrever isso na forma
Se , então
Ou seja,
Se , então
Como o quadrado de um número real é sempre maior ou igual a zero, temos que
Então, em módulo, 2xy é sempre menor que ou igual à x²+y².
Assim, tirando a raíz dos dois lados dessa inequação, obtemos
Logo, se multiplicarmos a última inequação por , obtemos
Então, utilizando o primeiro termo e o último termo da inequação acima, dividindo-os por e, lembrando que , podemos escrever a seguinte inequação
Então, temos que a nossa função em um ponto muito próximo da origem menos o seu valor na origem é sempre menor que . Portanto, se escolhermos , obtemos que
Assim, podemos fazer nossa função ser tão próxima de zero quanto quisermos conforme nos aproximamos da origem. Então:
Resposta
A função é contínua na origem.