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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 7b.

7. Dada a função f x = x 3 cos ⁡ 1 x ,     s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

Mostre que:

b) f ' é continua.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que provar que f ' é contínua.

Moleza? 😎

Já vimos que f é diferenciável.

Primeiro vamos calcular a derivada de f e depois verificar a continuidade pelo teste do limite.

Sacou? Bora lá! 👀

Passo 2

Se f x = x 3 cos ⁡ 1 x ,     s e �� x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0 , então

f ' x = d x 3 cos ⁡ 1 x d x ,     s e   x ≠ 0 d 0 d x ,     s e   x = 0

Pela regra do produto

d x 3 cos ⁡ 1 x d x = d x 3 d x · cos ⁡ 1 x + x 3 · d cos ⁡ 1 x d x

Já a derivada de cos ⁡ 1 x é obtida pela regra da cadeia

d cos ⁡ 1 x d x = d 1 x d x · d cos ⁡ u d u

Substituindo em d x 3 cos ⁡ 1 x d x

d x 3 cos ⁡ 1 x d x = d x 3 d x · cos ⁡ 1 x + x 3 · d 1 x d x · d cos ⁡ u d u

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos que

d x 3 d x = 3 x 2

d 1 x d x = - 1 x 2

d cos ⁡ u d u = - s e n u

Logo

d x 3 cos ⁡ 1 x d x = 3 x 2 · cos ⁡ 1 x + x 3 · - 1 x 2 · - s e n u

Simplificando e substituindo u por 1 / x de volta...

d x 3 cos ⁡ 1 x d x = 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x

Logo, f ' x será

f ' x = 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x ,     s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora para sabermos se f ' é contínua, calculamos o limite de f ' para x ≠ 0 e igualamos a f ' para x = 0

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x = lim x → 0 ⁡ 0 = 0

Se essa igualdade for verdadeira, então f ' é contínua.

Podemos separar o limite de 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x como

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ 1 x + lim x → 0 ⁡ x s e n 1 x

Aplicando o teorema do confronto, temos que

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x ≤ 1

Multiplicando todos os lados por 3 x 2 e aplicando o limite...

- 3 x 2 ≤ 3 x 2 cos ⁡ 1 x ≤ 3 x 2

lim x → 0 ⁡ - 3 x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ 3 x 2

Assim, calculando o limite de 3 x 2 e - 3 x 2 ...

0 ≤ lim x → 0 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ 1 x ≤ 0

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ 1 x = 0

Se fizermos os mesmos passos para lim x → 0 ⁡ x s e n 1 x , vamos chegar em

lim x → 0 ⁡ x s e n 1 x = 0

Portanto, substituindo os resultados na primeira equação...

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x = 0

0 + 0 = 0

0 = 0

A igualdade é satisfeita, portanto, f ' é contínua!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x = 0

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )