Dada a função f(x) = (2 - raiz((x^2 + 7), 3)) / (x^3 - 1) para x ≠ 1 , defina o valor de g(1) para que a função g seja contínua em x = 1 , se g(x) = f(x) para x ≠ 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o valor de g ( 1 ) , sabendo que g x = f ( x ) quando x ≠ 1 e de modo que g seja contínua em x = 1 .

Pra isso, nós vamos definir uma função por partes na forma:

h x = 2 - x 2 + 7 3 x 3 - 1 ,     x ≠ 1 g 1 ,     x = 1

Assim, a gente consegue atender quase todos os requisitos do enunciado, só falta verificar se a função é mesmo contínua em x = 1 . Pra isso, a gente precisa lembrar que para que uma função seja contínua em um ponto, ela precisa existir naquele ponto e seus limites laterais também precisam existir e serem iguais a função no ponto, ou seja:

lim x → 1 + ⁡ h ( x ) = lim x → 1 - ⁡ h ( x ) = h ( 1 )

A gente já definiu g ( 1 ) para x = 1 , falta calcular os limites laterais da primeira parte da função e, usando a igualdade, verificar o valor de g ( 1 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando os limites laterais para h x = 2 - x 2 + 7 3 x 3 - 1 :

lim x → 1 + ⁡ h ( x ) = l i m x → 1 + 2 - x 2 + 7 3 x 3 - 1

Substituindo x = 1 aqui, a gente cai numa indeterminação do tipo 0 0 . Então, pra fugir da indeterminação, vamos usar a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo:

l i m x → 1 + - 2 x 3 x 2 + 7 2 / 3 3 x 2  

Fazendo a divisão de frações:

lim x → 1 + ⁡ - 2 x 3 x 2 + 7 2 3 ∙ 1 3 x 2

Agora podemos aplicar o limite:

- 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) 2 + 7 2 3 ∙ 1 3 ( 1 ) 2

- 2 3 ∙ 4 ∙ 1 3 = - 1 18

Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:

lim x → 1 - ⁡ h ( x ) = l i m x → 1 - 2 - x 2 + 7 3 x 3 - 1 = lim x → 1 - ⁡ - 2 x 3 x 2 + 7 2 3 ∙ 1 3 x 2

= - 2 1 3 1 2 + 7 2 3 ∙ 1 3 1 2 = - 1 18

Então, nossos limites laterais existem e são iguais.

Passo 3

Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:

lim x → 1 + ⁡ h ( x ) = lim x → 1 - ⁡ h ( x ) = h ( 1 )

E a gente definiu que para x = 1 , nossa função é h x = g ( 1 ) . Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:

g 1 = - 1 18

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

g 1 = - 1 18

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