UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 2.3
Dada a função para , defina o valor de para que a função seja contínua em , se para .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar o valor de , sabendo que quando e de modo que seja contínua em .
Pra isso, nós vamos definir uma função por partes na forma:
Assim, a gente consegue atender quase todos os requisitos do enunciado, só falta verificar se a função é mesmo contínua em . Pra isso, a gente precisa lembrar que para que uma função seja contínua em um ponto, ela precisa existir naquele ponto e seus limites laterais também precisam existir e serem iguais a função no ponto, ou seja:
A gente já definiu para , falta calcular os limites laterais da primeira parte da função e, usando a igualdade, verificar o valor de .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando os limites laterais para :
Substituindo aqui, a gente cai numa indeterminação do tipo . Então, pra fugir da indeterminação, vamos usar a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo:
Fazendo a divisão de frações:
Agora podemos aplicar o limite:
Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:
Então, nossos limites laterais existem e são iguais.
Passo 3
Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:
E a gente definiu que para , nossa função é . Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉