4. Defina a função por
Sabendo que é contínua em , é correto afirmar que o valor do produto é:
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar que para função ser continua temos que respeitar a seguinte condição:
Repara que estamos estudando a função em torno de , pois ele é onde a função muda de comportamento.
Mas continuando, podemos escrever então que,
Agora vamos resolver cada limite e achar quem é e quem é .
Bora lá!
Passo 2
Começando por,
Note que podemos escrever nosso limite assim:
O primeiro limite fica assim:
Já no segundo teremos uma indeterminação do tipo dentro do cosseno:
Mas repara que temos que
Com isso, podemos escrever nosso limite assim,
Simplificando, ficamos com
Substituindo o por
Juntando tudo, ficamos com
Mas lembra que,
Então,
Agora vamos para o próximo limite!
Passo 3
Temos agora,
Que podemos reescrever assim,
Opaaaa! Isso está com cara de Limite Fundamental Trigonométrico. Para quem não lembra, ele tem essa cara aqui:
Mas repara que no nosso limite temos , então vamos fazer uma mudança de variável
Com isso, ficamos com
Mas agora temos que dentro do seno temos e no denominador apenas . Então vamos multiplicar com em cima e embaixo
Aplicando o Limite Fundamental Trigonométrico, ficamos com
Mas lembra que,
Então,
Passo 4
Já descobrimos quem é e , mas a questão pede o produto deles. Logo:
Prontinho!