Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f dada passando pelo ponto (a, f(a)) , caso elas existam.

(a) f(x) = x^2 + 2x + 5 e a = 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f x = x 2 + 2 x + 5   que passa pelo ponto de coordenada x = 1 . Pra descobrir a coordenada y do ponto, basta substituir o valor de x na função:

y = f x = 1 2 + 2 1 + 5 = 8

Então, queremos encontrar a reta tangente que passa pelo ponto ( 1 ,   8 ) . Lembra dela? A equação da reta tem a forma:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Onde ( x 0 ,   y 0 ) é o ponto dado e m é o nosso coeficiente angular, que é numericamente igual a derivada da função no ponto, ou seja:

m = f ' ( x 0 )

Então, vamos derivar a nossa função, aplicar o valor de x 0 do ponto e substituir os dados do enunciado na equação da reta tangente.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de f x = x 2 + 2 x + 5 em relação a x :

f ' x = 2 x + 2

Aplicando o valor x 0 = 1 , temos:

f ' 1 = 2 1 + 2 = 4

Esse é o nosso coeficiente angular:

m = 4

Então, substituindo m = 4 e x 0 ,   y 0 = ( 1 ,   8 ) na equação da reta, temos:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 8 = 4 ( x - 1 )

Isolando y pra deixar mais bonitinho:

y = 4 x - 4 + 8

y = 4 x + 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = 4 x + 4

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