Determine, se existir, o valor L ∈ R para que cada uma das funções abaixo sejam contínuas

b ) f x = x 8 + x 4 x 2 ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x 8 + x 4 x 2 ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

E quer saber se existe algum valor de L que torne essa função contínua

E agora, você lembra do que uma função precisa para que ela seja contínua?

Uma função contínua em um ponto é aquela em que nesse ponto os limites bilaterais são iguais entre si e também igual à função nesse ponto

E uma função contínua é aquela em que isso acontece em todo seu domínio!

Sabemos também que nossa função é definida por partes e justamente na parte que dá “ruim” ela se quebra! Então precisamos ver para qual valor de L os limites das duas partes ficam iguais

Tranquilo? Agora o que nos resta é calcular os limites!

Bora lá!

Passo 2

Começando pela parte da função quando x ≠ 0

x 8 + x 4 x 2

Calculando o limite pra quando x → 0 temos

lim x → 0 ⁡ x 8 + x 4 x 2 = 0 0

0 / 0 ou ∞ / ∞ podemos aplicar a regra de L’Hopital! Ou como nesse caso, simplificar!

Tirando o fator comum de dentro do radical temos

lim x → 0 ⁡ x 4 ( x 2 + 1 ) x 2 = lim x → 0 ⁡ | x 2 | x 2 + 1 x 2

Simplificando temos

lim x → 0 ⁡ x 2 + 1

Agora avaliando novamente o limite temos

0 2 + 1 = 1

Beleza? Agora vamos ver pelo outro lado!

Passo 3

A outra parte da função, quando avaliada no limite, precisa dar o mesmo valor!

Nossa função

f x = x 8 + x 4 x 2 ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

Se x = 0 , temos

f x = L

Assim no limite

lim x → 0 ⁡ L = L

E para ser contínua os limites precisam ser iguais. Resgatando do passo anterior o resultado do outro limite

L = 1

E é isso! Até a próxima!

Resposta

L = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )