UTFPR. Cálculo Diferencial e Integral 1. Lista Continuidade. 2022.2. Questão 7b.
7 – Determine, se existirem, os valores de para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua:
b)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão temos uma função que é definida por partes onde quando , a função assume , já quando a função é igual a e por último, quando a função assume .
Com essas informações, temos que verificar para quais valores de a função é descontínua.
Tem ideia de como fazer isso?? 🤔🤔
Quando uma função é definida por partes, dizemos que a função é contínua quando a transição de uma parte para outra ocorre de forma que não gera uma indeterminação ou que infinitesimalmente as proximidades do ponto em que ocorre a transição, a função gera a mesma imagem.
Entendeu alguma coisa?? 🤔🤔
Relaxa, vamos ver na prática!
Passo 2
O que temos que verificar é se a função tende a quando tende a já que esse é o ponto em que as proximidades mudam de comportamento. Entendeu?
Por exemplo, quando temos a primeira mudança é quando passa de para , ou seja, de para .
Se a função for continua, os limites de ambas as partes são iguais
No caso do limite de , tende a pela esquerda, ou seja, o denominador tende a e sempre que temos uma constante dividida por um número infinitesimalmente pequeno e negativo, o limite tende a , logo
Já para o limite de , sabemos que a propriedade de limites de uma função constante é que o resultado é a própria constante, ou seja
Com isso, temos que
O que não é possível.
Logo em pela esquerda, a função é descontínua.
Entendeu essa parte? 😉
Passo 3
Agora vamos fazer essa mesma analise para a outra transição de , no caso, quando passa de para .
Nesse momento, a função passa de para , da mesma forma, se essa transição for contínua, ou limites devem ser iguais
Como vimos no passo anterior, o limite de uma constante é a própria constante.
Já substituindo em , vamos obter que o limite de quando tende a pela direita é de
Logo tende a quando se aproxima a pela direita, o que é diferente de que encontramos para .
Assim, se é descontínua em e em , então é descontínua em
Portanto, o valor de em que a função é descontínua é .
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
