Determine m ,   n ∈ R de modo que f x = - x 2 + n x - 3 x 3 - 27 ,           s e   x < 3 1 - m x + 1 x 3 ,           s e   x ≥ 3 seja contínua em x = 3 .

Passo 1

Falai pessoal, bora resolver essa comigo?

A questão nos pede para encontrar valores para m   e   n que tornem a função f ( x ) contínua no ponto x = 3 .

Isso significa que queremos que a função não tenha "buracos" ou descontinuidades quando x   é igual a 3 .

Primeiro, vamos olhar para a função f x .

Ela é definida em dois pedaços: um para x menor que 3 e outro para x   maior ou igual a 3.

Vamos chamar esses pedaços de "lado esquerdo" e "lado direito" da função.

No lado esquerdo, a função é dada por - x 2 + n x - 3 x 3 - 27 , e no lado direito, é dada por 1 - m x + 1 x 3 .

Passo 2

Para a função ser contínua em x = 3 , precisamos verificar se os valores da função se aproximam de maneira suave e sem interrupções quando x se aproxima de 3 a partir da esquerda (menor que 3) e da direita (maior ou igual a 3).

Calculando os limites à esquerda e à direita de x = 3 chegamos a duas expressões: uma envolvendo m   e   n para o lado esquerdo e outra envolvendo m para o lado direito.

Queremos que esses dois limites sejam iguais para que a função seja contínua.

Isso significa que a parte "separada" da função que está em x = 3 precisa se encaixar suavemente.

No entanto, há um probleminha.

No lado esquerdo, quando calculamos o limite, chegamos a uma situação em que o denominador (o número de baixo) se torna zero, o que não é bom quando se trata de limites.

Isso indica que o limite à esquerda não existe da maneira tradicional.

Passo 3

Isso nos leva a uma conclusão importante: Não importa que valores escolhamos para m   e   n a parte da função que está à esquerda de x = 3 sempre terá uma descontinuidade nesse ponto.

Portanto, não é possível fazer a função ser contínua em x = 3 escolhendo qualquer valor para m   e   n .

Isso pode parecer estranho, mas é uma situação possível em matemática, onde não importa o que façamos, certos pontos não podem ser "consertados" para tornar a função contínua em todos os lugares.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o limite à esquerda (quando x se aproxima de 3 pela esquerda) da função

- x 2 + n x - 3 x 3 - 27

Limite à esquerda   x → 3 - :

lim x → 3 - ⁡ - x 2 + n x - 3 x 3 - 27

Substituindo x por 3:

lim x → 3 - ⁡ - 3 2 + n ( 3 ) - 3 3 3 - 27

O denominador se torna zero, o que indica que o limite à esquerda não existe.

lim x → 3 - ⁡ 3 n - 12 0

3 n - 12 = 0

n = 4

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite à direita (quando x se aproxima de 3 pela direita) da função

1 - m x + 1 x 3

Limite à direita x → 3 + :

lim x → 3 + ⁡ 1 - m x + 1 x 3

Substituindo x por 3:

lim x → 3 + ⁡ 1 - m x + 1 x 3

lim x → 3 + ⁡ 1 - m 3 + 1 3 3

= 10 3

Resposta

m = 10 3   e   n = 4

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )