UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - Profº Hamilton Simões - Lista 1, Questão 4
Determine de modo que seja contínua em
Passo 1
Falai pessoal, bora resolver essa comigo?
A questão nos pede para encontrar valores para que tornem a função contínua no ponto
Isso significa que queremos que a função não tenha "buracos" ou descontinuidades quando é igual a
Primeiro, vamos olhar para a função
Ela é definida em dois pedaços: um para menor que 3 e outro para maior ou igual a 3.
Vamos chamar esses pedaços de "lado esquerdo" e "lado direito" da função.
No lado esquerdo, a função é dada por , e no lado direito, é dada por
Passo 2
Para a função ser contínua em precisamos verificar se os valores da função se aproximam de maneira suave e sem interrupções quando se aproxima de 3 a partir da esquerda (menor que 3) e da direita (maior ou igual a 3).
Calculando os limites à esquerda e à direita de chegamos a duas expressões: uma envolvendo para o lado esquerdo e outra envolvendo para o lado direito.
Queremos que esses dois limites sejam iguais para que a função seja contínua.
Isso significa que a parte "separada" da função que está em precisa se encaixar suavemente.
No entanto, há um probleminha.
No lado esquerdo, quando calculamos o limite, chegamos a uma situação em que o denominador (o número de baixo) se torna zero, o que não é bom quando se trata de limites.
Isso indica que o limite à esquerda não existe da maneira tradicional.
Passo 3
Isso nos leva a uma conclusão importante: Não importa que valores escolhamos para a parte da função que está à esquerda de sempre terá uma descontinuidade nesse ponto.
Portanto, não é possível fazer a função ser contínua em escolhendo qualquer valor para
Isso pode parecer estranho, mas é uma situação possível em matemática, onde não importa o que façamos, certos pontos não podem ser "consertados" para tornar a função contínua em todos os lugares.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o limite à esquerda (quando se aproxima de 3 pela esquerda) da função
Limite à esquerda
Substituindo por 3:
O denominador se torna zero, o que indica que o limite à esquerda não existe.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite à direita (quando se aproxima de 3 pela direita) da função
Limite à direita
Substituindo por 3: