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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 8.2b

Determine onde cada uma das seguintes funções é descontínua:

f ( x ) = ( 1 - x ) / x 2   s e   x ≠ 0

1 , �� s e   x = 0

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Nosso objetivo é verificar onde a função é descontínua. Mas e aí? Como verificamos a continuidade de uma função?

A condição é a seguinte. Para uma função ser contínua, a seguinte condição tem que ser satisfeita em todo seu domínio

l i m x → a f ( x ) = f ( a )

Ou seja, o limite tem que ser o mesmo valor daquela função no ponto. Com isso em mente vamos verificar se a nossa função

f ( x ) = ( 1 - x ) / x 2   s e   x ≠ 0

1 ,   s e   x = 0

é descontínua.

Passo 2

Como a nossa função de interesse é

f ( x ) = ( 1 - x ) / x 2   s e   x ≠ 0

1 ,   s e   x = 0

Onde pode rolar uma descontinuidade? No ponto x = 0 por conta daquele denominador. Então, vamos ver se a condição

l i m x → 0 f ( x ) = f ( 0 )

é válida.

Então temos

l i m x → 0 ( 1 - x ) / x 2 = ∞

Logo, a função não é contínua em x = 0

Passo 3

Agora, qual tipo de descontinuidade temos em x = 2 ? Bem como vimos, temos que

l i m x → 0 ( 1 - x ) / x 2 = ∞

temos uma descontinuidade de segunda espécie

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

x = 0 ,   s e g u n d a   e s p é c i e

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )