1. Determine os possíveis valores de a , b e c que tornam continuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.

f x = 1 + x 2 ,   s e   x ≤ 0 b + x ,   s e   0 < x ≤ a x - a + c ,   s e   x > a

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar de uma coisinha: para a função ser continua, os seus limites laterais tem que ser iguais entre si e a função no ponto, ou seja,

f k = lim x → k + ⁡ f x = lim x → k - ⁡ f x

Onde k , neste caso, são justamente pontos onde a função muda de comportamento.

Agora repara que os pontos x = 0 e x = a são, justamente, os pontos em que a função muda de comportamente.

Em outras palavras, vamos ter que avaliar esses limites laterais para encontrar quem é a , b e c .

Passo 2

Começando por lim x → 0 ⁡ f x .

Temos que para valores menores que 0 , a função tem esse comportamento 1 + x 2 . Então vamos fazer,

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ 1 + x 2 = 1

Agora vamos olhar para valores maiores que 0 , onde a função terá esse comportamento b + x . Logo,

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ b + x = b

Para função existir, temos que

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x

Podemos dizer que,

1 = b

Já descobrimos quem é b ! Vamos para próxima.

Passo 3

Fazendo agora lim x → a ⁡ f x .

Temos que para valores menores que a , a função tem esse comportamento b + x . Então vamos fazer,

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a - ⁡ b + x = b + a

Agora vamos olhar para valores maiores que a , onde a função terá esse comportamento x - a + c . Logo,

lim x → a + ⁡ f x = lim x → a + ⁡ x - a + c = c

E para função ser continua temos que

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x

Podemos dizer que,

b + a = c

Mas lembra que b = 1 , então

1 + a = c

Então, galerinha, o enunciado diz para encontrarmos “os possíveis valores”, ou seja, pode ter mais de um valor possivel. E neste caso temos que a e c podem ser qualquer número real, desde que respeite a seguinte condição

1 + a = c

Blz?

Resposta

No texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )