UTFPR– Cálculo 1 – Lista de Continuidade – Questão 2c
Determine se as seguintes funções são contínuas em :
Passo 1
Olá pessoal, tudo? O problema nos deu essa função definida por partes aqui
E quer saber se é contínua
Mas você lembra quais os critérios para a continuidade de uma função?
São esses três:
- Os limites laterais devem existir (não ser ) e serem iguais
- Deve existir a função aplicada no ponto
-
( 1 ) e devem ser iguais!
E encontrar o domínio de uma função, você lembra?
O domínio de uma função é o conjunto no qual a função “existe”. Ou seja, precisamos encontrar onde a função tem problemas e retirar do conjunto dos reais!
As funções têm problemas em dois pontos
- Divisão por zero
- Raiz (de índice par) de número negativo
Tirando os pontos onde isso pode acontecer, então o restante será o domínio da função!
Então é isso, vamos usar esses dois conceitos para verificar se a função dada é contínua em seu domínio!
Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você! Bora lá?
Passo 2
Nossa função é definida em duas partes
E vemos que em a primeira parte da função apresenta um zero no denominador, mas a função não tem essa cara nesse ponto! Em a função assume um valor constante de !
Então o problema que teríamos, não temos mais! E o domínio dessa função é
A função é válida em qualquer ponto! Tudo bem até aqui?
Passo 3
Nosso próximo passo é avaliar se em torno de ela é continua! Isso significa que os limites laterais devem valer o mesmo valor, e ser igual à função em , ou seja
No entanto, pela definição da nossa função, sabemos o valor de :
Temos que . Então precisamos verificar se para , mas em torno de , essa função assume o valor de .
Vamos começar calculando o limite pela direita
Opa encontramos uma indeterminação! Isso significa que precisamos manipular a função até sair daqui!
Note que é um binômio quadrado perfeito, então podemos fatorar
Assim podemos simplificar nossa função
Voltando para o limite
Pela direita a função assume o valor de ! E pela esquerda? Também! Podemos refazer os mesmos passos para avaliar o limite pela esquerda
E vamos encontrar o mesmo resultado!
E o que isso significa? Significa que o limite para existe e vale ! Mas infelizmente isso não basta para que a função seja contínua. Para ser contínua os limites laterais devem ser iguais entre si e iguais ao valor da função no ponto. Mas em :
Sendo assim, a função é contínua.
Tranquilo? E é só isso! Vamos treinar mais?