UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 2.1
Determine o valor da constante para que a função , dada abaixo, seja contínua em .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente o valor da constante que tá presente na nossa função definida por partes, de modo que a função seja contínua em .
Pra que uma função seja contínua em um ponto, ela precisa existir naquele ponto e seus limites laterais também precisam existir e serem iguais a função no ponto. Como temos um intervalo, essa definição se estende a todos os pontos do intervalo.
Repare que nós temos o quociente de funções polinomiais na função, que são sempre contínuas, exceto para valores que zerem o denominador. Repare também que, além de mudar sua lei de formação em , a primeira parte da função não está definição para esse valor, porque zeraria o denominador. Mas existe na segunda parte da função. Então, precisamos testar os limites laterais de quando tende a , pela direita e pela esquerda, na parte que poderia causar algum problema de descontinuidade.
Sendo assim, vamos calcular , pela direita e pela esquerda, pra primeira parte da função e igualar com na segunda parte, de modo que:
Assim, vamos encontrar o valor de . Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando os limites laterais para :
Substituindo aqui, a gente cai numa indeterminação do tipo . Então, podemos usar a regra de L’Hospistal pra fugir dela e aplicar o limite. Derivando em cima e embaixo, segundo L’Hospital, temos:
Agora não temos mais indeterminação e podemos aplicar o limite:
Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:
Então, nossos limites laterais existem e são iguais.
Passo 3
Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:
Pra , nossa função é definida por . Então, aplicando o ponto, temos:
Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:
Fazendo meio pelos extremos:
Isolando :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉