Determine o valor da constante c para que a função f , dada abaixo, seja contínua em [ 2 ,   + ∞ ) .

f x = x 2 - 4 x 2 - 3 x + 2 ,     x > 2 c ,     x = 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o valor da constante c que está presente na nossa função f ( x ) definida por partes, de modo que a função seja contínua em [ 2 ,   + ∞ ) .

Pra que uma função seja contínua em um ponto, ela precisa existir naquele ponto e seus limites laterais também precisam existir e serem iguais a função no ponto. Como ela precisa ser contínua em [ 2 ,   + ∞ ) , essa definição se estende a todos os pontos do intervalo.

Repare que a nossa função muda sua lei de formação em x = 2 e que substituindo esse ponto na primeira parte da função, teríamos uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, precisamos testar os limites laterais de quando x tende a 2 , pela direita e pela esquerda, na primeira parte da função e e igualar com f ( 2 ) na segunda parte, de modo que:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = f ( 2 )

Assim, vamos encontrar o valor de c . Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando os limites laterais para f x = x 2 - 4 x 2 - 3 x + 2 :

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 + ⁡ x 2 - 4 x 2 - 3 x + 2

Pra tentar fugir da indeterminação, vamos fatorar os polinômios em cima e embaixo:

lim x → 2 + ⁡ ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x - 1 )

Assim, simplificando, temos:

lim x → 2 + ⁡ x + 2 x - 1

Aplicando o limite:

= 2 + 2 2 - 1 = 4

Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ x 2 - 4 x 2 - 3 x + 2

lim x → 2 - ⁡ ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x - 1 ) = lim x → 2 - ⁡ x + 2 x - 1 = 4

Então, nossos limites laterais existem e são iguais.

Passo 3

Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = f ( 2 )

Pra x = 2 , a nossa função é definida por f x = c . Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:

c = 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c = 4

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