UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 2.6
Determine o valor da constante para que a função , dada abaixo, seja contínua em .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar o valor da constante que está presente na nossa função definida por partes, de modo que a função seja contínua em .
Pra que uma função seja contínua em um ponto, ela precisa existir naquele ponto e seus limites laterais também precisam existir e serem iguais a função no ponto. Como ela precisa ser contínua em , essa definição se estende a todos os pontos do intervalo.
Repare que a nossa função muda sua lei de formação em e que substituindo esse ponto na primeira parte da função, teríamos uma indeterminação do tipo . Então, precisamos testar os limites laterais de quando tende a , pela direita e pela esquerda, na primeira parte da função e e igualar com na segunda parte, de modo que:
Assim, vamos garantir que a função seja contínua no intervalo e encontrar o valor de .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando os limites laterais para :
Pra tentar fugir da indeterminação, vamos aplicar a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo:
Fazendo a divisão de frações:
Aplicando o limite:
Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:
Então, nossos limites laterais existem e são iguais.
Passo 3
Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:
Pra , a nossa função é definida por . Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉