UFSCAR – Cálculo 1 – P1 – Questão 4
Determine o valor de de forma que seja contínua em
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem por aí? O problema nos deu uma função definida por partes
Você nota que não sabemos exatamente a cara dessa função? Ali dentro da definição temos uma constante que por enquanto está indefinida
O problema nos pergunta exatamente sobre ela: para quais valores de , essa função é contínua em todo conjunto dos reais
Mas por que em todos os reais? Como temos dois polinômios como as partes dessa função, sabemos que eles são contínuos em quaisquer pontos, mas em especial tem um número que pode ser problema: em torno de ! É ali que as duas partes se conectam (e precisam se conectar mesmo para que tenhamos uma função contínua!)
vamos aplicar então a condição de continuidade de uma função para determinar essa constante!
Passo 2
Para uma função ser contínua em um ponto precisamos que os limites laterais tenham o mesmo valor entre eles e esse valor deve ser iguais à função aplicada nesse mesmo ponto
Vamos rever nossa função:
O limite inferior já é igual à função aplicada em , então precisamos garantir que os limites laterais sejam iguais. Então a ideia aqui é calcular o valor desses limites: vamos encontrar expressões em termos de , e então igualar um ao outro, pois essa função somente será contínua se essa condição for satisfeita, beleza?
Começando pelo limite superior:
Beleza? Agora o limite inferior
Tranquilo até aqui? Agora precisamos que esses valores sejam iguais!
E é isso! Com o valor de a função tem limites laterais iguais e portanto é uma função constante no ponto de encontro das partes!
Ficou assim
Nos outros pontos não precisamos analisar, pois essa função é constituída por polinômios em ambas as partes, e eles são funções contínuas em todos os reais
Beleza? E é isso! Até a próxima!