UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 2.2
Determine os valores das constantes e para que a função , dada abaixo, seja contínua em .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar os valores das constantes e que estão presentes na nossa função definida por partes, de modo que a função seja contínua em .
Pra que uma função seja contínua em um ponto, ela precisa existir naquele ponto e seus limites laterais também precisam existir e serem iguais a função no ponto. Como temos um intervalo, essa definição se estende a todos os pontos do intervalo.
Repare que na segunda parte da função nós temos o quociente de funções polinomiais, que são sempre contínuas, exceto para valores que zerem o denominador. Repare também que, nossa função muda sua lei de formação em e , e que a segunda parte da função não está definição para esses valores, porque zeraria o denominador. Mas e existem nas outras partes da função. Então, precisamos testar os limites laterais de quando tende a e quando tende a , pela direita e pela esquerda, na parte que poderia causar algum problema de descontinuidade.
Sendo assim, vamos calcular e , pela direita e pela esquerda, pra segunda parte da função e igualar com e na primeira e terceira parte, respectivamente, de modo que:
E
Assim, vamos encontrar o valor de e . Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando os limites laterais para :
Substituindo aqui, a gente cai numa indeterminação do tipo . Então, pra fugir da indeterminação, vamos racionalizar a função multiplicando ela por :
Simplificando:
Agora que não temos mais indeterminação, podemos aplicar o limite:
Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:
Então, nossos limites laterais existem e são iguais.
Passo 3
Agora vamos verificar os limites laterais pra quando :
Substituindo aqui, a gente cai numa indeterminação do tipo novamente. Então, pra fugir da indeterminação, vamos racionalizar a função multiplicando ela por :
Simplificando:
Agora que não temos mais indeterminação, podemos aplicar o limite:
Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:
Passo 4
Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:
E
Pra , nossa função é definida por . Então, aplicando o ponto, temos:
Pra , nossa função é definida por . Então, temos:
Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉