UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 2.4
Determine os valores de e para que a função , dada abaixo, seja contínua em .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar os valores das constantes e que estão presentes na nossa função definida por partes, de modo que a função seja contínua em .
Pra que uma função seja contínua em um ponto, ela precisa existir naquele ponto e seus limites laterais também precisam existir e serem iguais a função no ponto. Como ela precisa ser contínua em todo domínio, essa definição se estende a todos os pontos do conjunto .
Repare que em todas as partes da função nós temos funções polinomiais, que, em geral, são sempre contínuas. Repare também que, nossa função muda sua lei de formação em e em . Mas e são definidas apenas na primeira e na terceira parte da função. Então, precisamos testar os limites laterais de quando tende a e quando tende a , pela direita e pela esquerda, na segunda parte da função.
Sendo assim, vamos calcular e , pela direita e pela esquerda, pra segunda parte da função e igualar com e na primeira e terceira parte, respectivamente, de modo que:
E
Assim, vamos encontrar o valor de e . Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando os limites laterais para :
Como não temos nenhuma indeterminação, podemos aplicar o limite:
Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:
Então, nossos limites laterais existem e são iguais.
Passo 3
Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:
Pra , a nossa função é definida por , então aplicando o ponto:
Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:
Vamos guardar esse resultado.
Passo 4
Agora vamos verificar os limites laterais pra quando tende a pela direita e pela esquerda. Começando com o limite pela direita:
Como não temos nenhuma indeterminação, podemos aplicar o limite:
Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:
Então, nossos limites laterais nesse caso, também existem e são iguais.
Passo 5
Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:
Pra , a nossa função é definida por , então aplicando o ponto:
Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:
Com o resultado do passo , montamos o sistema:
Da primeira equação, temos:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na primeira:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉