UFF, Sem Campus, Cálculo IA, P1 - 2022.1, Questão 1
Determine valores para para que a função definida abaixo seja contínua em . Justifique muito bem sua resposta:
Passo 1
Faaaala gente bonita do Responde Aí, tudo bom com vocês?
Nessa questão temos uma função definida por partes, dada por:
E, precisamos determinar os valores de e para que a função seja contínua.
Para uma função ser contínua precisa ser verdade que, em qualquer ponto do domínio da função, vale:
Se olharmos as expressões para e , vemos que tratam-se de funções que trigonométricas, que não possuem nenhuma restrição ou ponto que faça a função ficar indeterminada. Logo, para esses pontos a função é contínua.
O grande ponto está justamente em , onde ocorre a “conexão” entre essas partes. Portanto, precisamos mostrar que:
Mas, como é definida de formas diferentes quando e quando , vamos precisar verificar:
E, a partir dessas relações descobriremos e .
Vamo nessa!
Passo 2
Vamos começar analisando:
Quando , temos que:
Assim, precisamos que:
Mas, olha que, sobre o limite:
Quando substituímos , ficamos com:
Ou seja, esse limite tenderia pra . A única forma de evitarmos isso, é se a constante zerar a função sempre. Ou seja, se temos:
Portanto, precisamos ter para ser contínua.
Passo 3
Analisando agora a outra parte da função, ou seja, quando , precisamos que:
Para , temos:
Assim:
Colocando as constantes para fora, precisamos que:
Bom, para resolver esse limite, precisamos cair no limite fundamental, caso contrário temos uma indeterminação do tipo . Assim, vamos multiplicar a função dentro do limite por , daí:
Organizando um pouquinho, temos:
Substituindo de volta no nosso limite:
Tirando a constante pra fora:
Mas, esse limite é justamente o limite fundamental trigonométrico. Ou seja:
Assim, temos que .
Portanto, pra função ser contínua precisamos ter:
É isso gente, obrigado pela atenção 😊